Ejercicio Resuelto sobre Dinámica
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En el sistema de la figura, el cuerpo A se desliza sobre un plano horizontal sin fricción, arrastrado por B que desciende verticalmente. A y B están conectados entre sí por una cuerda inextensible de masa despreciable, paralela al plano y que pasa por una polea de masa despreciable y sin fricción. Las masas de A y B son respectivamente 32 kg y 8 kg. Determinar la aceleración del conjunto y la intensidad de la fuerza de tracción en la cuerda.


Datos del problema:
  • Masa del cuerpo A:    mA = 32 kg;
  • Masa del cuerpo B:    mB = 8 kg;
  • Aceleración de la gravedad:    g = 9,8 m/s2.
Esquema del problema:

Tomando un sistema de referencia orientado hacia la derecha en el mismo sentido de la aceleración.
Figura 1

Haciendo un Diagrama de Cuerpo Libre, tenemos las fuerzas que actúan sobre los bloques.

  • Cuerpo A (Figura 2):
    • Dirección vertical:
      • \( \vec P_{\small A} \): peso del cuerpo A;
      • \( \vec N_{\small A} \): fuerza de reacción normal de la superficie sobre el cuerpo.
    • Dirección horizontal:
      • \( \vec T \): fuerza de tensión en la cuerda.
Figura 2

  • Cuerpo B (Figura 3):
    • \( \vec P_{\small B} \): peso del cuerpo B;
    • \( \vec T \): fuerza de tensión en la cuerda.
Figura 3

Solución

Aplicando la Segunda Ley de Newton
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec F=m\vec a} \end{gather} \]
  • Cuerpo A:
En la dirección vertical, el peso y la normal se anulan.
En la dirección horizontal
\[ \begin{gather} T=m_{\small A}a \tag{I} \end{gather} \]
  • Cuerpo B:
En la dirección horizontal no hay fuerzas actuando.
En la dirección vertical
\[ \begin{gather} P_{\small B}-T=m_{\small B}a \tag{II} \end{gather} \]
El peso es dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \end{gather} \]
para el cuerpo B
\[ \begin{gather} P_{\small B}=m_{\small B}g \tag{III} \end{gather} \]
sustituyendo la ecuación (III) en la ecuación (II)
\[ \begin{gather} m_{\small B}g-T=m_{\small B}a \tag{IV} \end{gather} \]
Las ecuaciones (I) y (IV) forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (T y a), sumando las dos ecuaciones
\[ \begin{gather} \frac{ \left\{ \begin{array}{rr} \cancel{T}&=m_{\small A}a\\ m_{\small B}g-\cancel{T}&=m_{\small B}a \end{array} \right.} {m_{\small B}g=\left(m_{\small A}+m_{\small B}\right)a}\\[5pt] a=\frac{m_{\small B}g}{m_{\small A}+m_{\small B}}\\[5pt] a=\frac{8\times 9,8}{32+8} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a\approx 1,9\;\mathrm{m/s^2}} \end{gather} \]
Sustituyendo la masa del cuerpo A y la aceleración, encontrada anteriormente, en la primera ecuación del sistema, la tensión en la cuerda será
\[ \begin{gather} T=32\times 1,9 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {T\approx 62,7\;\mathrm N} \end{gather} \]
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