Exercício Resolvido de Dinâmica

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No sistema da figura ao lado, o corpo A desliza sobre um plano horizontal sem atrito, arrastado por B que desce verticalmente. A e B estão presos entre si por uma corda inextensível de massa desprezível paralela ao plano e que passa pela polia de massa desprezível sem atrio. As massas de A e B valem respectivamente 32 kg e 8 kg. Determinar a aceleração do conjunto e a intensidade da força de tração na corda. Adotar \( g=10\;{\text{m/s}}^{2} \).
Sistema formado por um bloco A sobre um plano horizontal ligado por uma corda através de uma polia a um bloco B suspenso.
Dados do problema Esquema do problema
Escolhemos a aceleração no sentido em que o corpo B está descendo. Isolando os corpos e pesquisando as forças que agem em cada um deles aplicamos a 2.ª Lei de Newton

\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\vec{F}=m\vec{a}} \]
Aceleração do sistema escolhida no sentido em que o bloco B está descendo.
figura 1
Corpo A:

Direção vertical:
  • \( \vec P_{\text{A}} \):    peso do corpo A;
  • \( \vec N_{\text{A}} \):    reação normal da superfície.
Direção horizontal:
  • \( \vec T \):    tensão na corda;
Bloco A onde atuam as forças NA força normal, P força peso e T tração na corda.
figura 2
Na direção vertical o peso e a normal se anulam, não há movimento vertical.
Na direção horizontal aplicando-se a 2.ª Lei de Newton temos a seguinte equação
\[ T=m_{\text{A}}a \tag{I} \]
Corpo B
  • \( \vec P_{\text{B}} \):    peso do corpo B;
  • \( \vec T \):    tensão na corda.
Na direção horizontal não há forças atuando, na direção vertical temos que a 2.ª Lei de Newton nos fornece a equação

figura 3
\[ P_{\text{B}}-T=m_{\text{B}}a \tag{II} \]

Solução

Com as equações (I) e (II) acima temos um sistema de duas equações a dua incógnitas (T e a), somando as duas equações temos
\[ \frac{ \left\{ \begin{array}{rr} T&=m_{\text{A}}a\\ P_{\text{B}}-T&=m_{\text{A}}a \end{array} \right.} {P_{\text{B}}=\left(m_{\text{A}}+m_{\text{B}}\right)a} \]
\[ a\;=\;\frac{P_{\text{B}}}{m_{\text{A}}+m_{\text{B}}} \tag{III} \]
O módulo da força peso do corpo B é dada por
\[ P_{\text{B}}=m_{\text{B}}g \tag{IV} \]
substituindo (IV) em (III) e os valores dados no problema
\[ a=\frac{m_{\text{B}}g}{m_{\text{A}}+m_{\text{B}}}\\ a=\frac{8.10}{32+8}\\ a=\;\frac{80}{40} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {a=2\;\text{m/s}^{2}} \]
Substituindo a massa do corpo A e a aceleração, encontrada acima, na primeira expressão a tração na corda vale
\[ T=32.2 \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {T=64\ \text{N}} \]

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