Exercício Resolvido de Limites
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t) \( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}{\frac{\sqrt{1+x\;}-1}{x}} \)
Observação: Substituindo diretamente o valor
\[
\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{\sqrt{1+0\;}-1}{0}}=\frac{0}{0}
\]
temos uma indeterminação do tipo
\( \frac{0}{0} \)
Multiplicando o numerador e o denominador por \( \sqrt{1+x\;}+1 \)
\[
\begin{gather}
\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{\sqrt{1+x\;}-1}{x}}.\frac{\left(\sqrt{1+x\;}+1\right)}{\left(\sqrt{1+x\;}+1\right)}\\[5pt]
\lim_{x\rightarrow0}{\frac{\left(\sqrt{1+x\;}\right)^{2}+\left(\sqrt{1+x\;}\right)-1.\left(\sqrt{1+x\;}\right)-1.1}{x\left(\sqrt{1+x\;}+1\right)}}\\[5pt]
\lim_{x\rightarrow0}{\frac{\cancel{1}+x+\cancel{\sqrt{1+x\;}}-\cancel{\sqrt{1+x\;}}-\cancel{1}}{x\left(\sqrt{1+x\;}+1\right)}}\\[5pt]
\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{\cancel{x}}{\cancel{x}\left(\sqrt{1+x\;}+1\right)}}\\[5pt]
\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{1}{\sqrt{1+0\;}+1}}=\frac{1}{2}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{\sqrt{1+x\;}-1}{x}}=\frac{1}{2}}
\]
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