Exercício Resolvido de Limites

r) \( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}{\left[\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^{3}}\right]} \)

Observação: Substituindo diretamente o valor

\[ \lim_{x\rightarrow1}{\left[\frac{1}{1-1}-\frac{3}{1-1^{3}}\right]}=\lim_{x\rightarrow1}{\left[\frac{1}{0}-\frac{3}{0}\right]}=\infty -\infty \]

temos uma indeterminação do tipo \( \infty -\infty \)

Reduzindo as duas frações ao mesmo denominador

\[ \lim_{x\rightarrow 1}{\left[\frac{1+x+x^{2}-3}{1-x^{3}}\right]}=\lim_{x\rightarrow 1}{\left[\frac{x^{2}+x-2}{1-x^{3}}\right]} \]

escrevendo o fator −2 como −1−1 e reagrupando

\[ \lim_{x\rightarrow 1}{\left[\frac{x^{2}+x-1-1}{1-x^{3}}\right]}=\lim_{x\rightarrow1}{\left[\frac{\left(x^{2}-1\right)+\left(x-1\right)}{1-x^{3}}\right]} \]

escrevendo o primeiro termo do numerador como o Produto Notável \( a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) \) e o denominador usando o Produto Notável \( a^{3}-b^{3}=\left(a-b\right)\left(a^{2}+\mathit{ab}+b^{2}\right) \)

\[ \lim_{x\rightarrow1}{\left[-{\frac{\left(1-x\right)\left(1+x\right)+\left(1-x\right)}{\left(1-x\right)\left(1+x+x^{2}\right)}}\right]}=\lim_{x\rightarrow1}{\frac{\cancel{1-x}}{\cancel{1-x}}\left[-{\frac{1+x+1}{1+x+x^{2}}}\right]}=\lim_{x\rightarrow 1}{-\left[\frac{1+1+1}{1+1+1^{2}}\right]}=-1 \]

\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\lim_{x\rightarrow 1}{\left[\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^{3}}\right]}=-1} \]

Fisicaexe - Exercícios Resolvidos de Física de Elcio Brandani Mondadori está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial-Compartilha Igual 4.0 Internacional .