Exercício Resolvido de Limites
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q) \( \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0}{\frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}} \)
Observação: Substituindo diretamente o valor
\[
\lim_{h\rightarrow 0}{\frac{(x+0)^{3}-x^{3}}{0}}
\]
temos uma indeterminação do tipo
\( \frac{0}{0} \)
Desenvolvendo o termo (x+h)3 pelo Produto Notável \( (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} \)
\[
\lim_{h\rightarrow0}{\frac{x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}-x^{3}}{h}}=\lim_{h\rightarrow 0}{\frac{3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}}{h}}
\]
colocando o fator h em evidência no numerador
\[
\lim_{h\rightarrow0}{\frac{\cancel{h}\left(3x^{2}+3xh+h^{2}\right)}{\cancel{h}}}=\lim_{h\rightarrow 0}{3x^{2}+3x.0+0^{2}}=3x^{2}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\lim_{h\rightarrow 0}{\frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}}=3x^{2}}
\]
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