Exercício Resolvido de Limites
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g) \( \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{1+2+...+n}{n^{2}}} \)
O termo do numerador representa a soma de uma Progressão Aritmética (P.A.), que possui n termos, com o primeiro termo igual à 1 e o último termo igual à n. A soma dos n termos de uma P.A. é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{S_{n}=\frac{(a_{1}+a_{n}).n}{2}}
\]
Temos a1 = 1, an = n e n = n, em nosso caso
\[
1+2+...+n=\frac{(1+n).n}{2}
\]
substituindo este termo no limite
\[
\begin{align}
\lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{1}{n^{2}}\frac{(1+n).n}{2}} &=\lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{n+n^{2}}{2n^{2}}}=\lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{n}{2n^{2}}+\frac{n^{2}}{2n^{2}}}\text{=}\\
&=\lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{n}{2n^{2}}+\frac{n^{2}}{2n^{2}}}=\lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{1}{2n}+\frac{1}{2}}
\end{align}
\]
Usando a propriedade dos limites de que o limite da soma é a soma dos limites
\[
\lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{1}{n^{2}}\frac{(1+n).n}{2}}=\lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{1}{2\infty}}+\lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{1}{2}}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{1+2+...+n}{n^{2}}}=\frac{1}{2}}
\]
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