Exercício Resolvido de Limites
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\( \mathsf{k)}\;\; \displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\;{\frac{(x+1)^{5}+(x+2)^{5}+...+(x+n)^{5}}{x^{5}+n^{5}}} \)
\[ \mathsf{k)}\;\; \displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\;{\frac{(x+1)^{5}+(x+2)^{5}+...+(x+n)^{5}}{x^{5}+n^{5}}} \]
Observação: Desenvolvendo uma expressão geral para
\[
\begin{align}
(a+b)^{5} &=(a+b)^{2}(a+b)^{2}(a+b)\text{=}\\
&=(a^{2}+2ab+b^{2})(a^{2}+2ab+b^{2})(a+b)=\\
&=(a^{4}+2a^{3}b+a^{2}b^{2}+2a^{3}b+4a^{2}b^{2}+2ab^{3}+a^{2}b^{2}+2ab^{3}+b^{4})(a+b)=\\
&=(a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4})(a+b)=\\
&=(a^{5}+a^{4}b+4a^{4}b+4a^{3}b^{2}+6a^{3}b^{2}+6a^{2}b^{3}+4a^{2}b^{3}+4ab^{4}+ab^{4}+b^{5})=\\
&=(a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5})
\end{align}
\]
Desenvolvendo os termos do limite por esta expressão
\[
\begin{align}
&\lim_{x\rightarrow \infty}\;{\frac{(x+1)^{5}+(x+2)^{5}+...+(x+n)^{5}}{x^{5}+n^{5}}}=\\[10pt]
&\qquad\qquad =\lim_{x\rightarrow \infty}\;{\frac{(x^{5}+5x^{4}1+10x^{3}1^{2}+10x^{2}1^{3}+5x1^{4}+1^{5})}{x^{5}+n^{5}}}+\\
&\qquad\qquad\qquad\;\; +\frac{(x^{5}+5x^{4}2+10x^{3}2^{2}+10x^{3}2^{3}+5x2^{4}+2^{5})}{x^{5}+n^{5}}+\\
&\qquad\qquad\qquad\;\; +...+\frac{(x^{5}+5x^{4}n+10x^{3}n^{2}+10x^{2}n^{3}+5xn^{4}+n^{5})}{x^{5}+n^{5}}=\\[10pt]
&\qquad\qquad =\lim_{x\rightarrow \infty}\:{\frac{x^{5}(1+1+..+1)+5x^{4}(1+2+...+n)+10x^{3}(1^{2}+2^{2}+...+n^{2})+}{\phantom{{x^{5}+n^{5}}}}}\\
&\qquad\qquad\qquad\;\; \frac{+10x^{2}(1^{3}+2^{3}+...n^{3})+5x(1^{4}+2^{4}+...n^{4})+(1^{5}+2^{5}+...n^{5})}{x^{5}+n^{5}}=\\[10pt]
&\qquad\qquad =\lim_{x\rightarrow \infty}\;{\frac{\cancel{x^{5}}\left[(\overbrace{1+1+..+1}^{n\ \ \mathit{termos}})+5\dfrac{(1+2+...+n)}{x}+10\dfrac{(1^{2}+2^{2}+...+n^{2})}{x^{2}}+\right.}{\phantom{{x^{5}+n^{5}}}}}\\
&\qquad\qquad\qquad\;\; \frac{\left.+10\dfrac{(1^{3}+2^{3}+...n^{3})}{x^{3}}+5\dfrac{(1^{4}+2^{4}+...n^{4})}{x^{4}}+\dfrac{(1^{5}+2^{5}+...n^{5})}{x^{5}}\right]}{\cancel{x^{5}}\left[1+\dfrac{n^{5}}{x^{5}}\right]}=\\[10pt]
&\qquad\qquad =\lim_{x\rightarrow \infty}\;{\frac{(\overbrace{1+1+..+1}^{n\ \ \mathit{termos}})+5\cancelto{0}{\dfrac{(1+2+...+n)}{\infty}}+10\cancelto{0}{\dfrac{(1^{2}+2^{2}+...+n^{2})}{\infty^{2}}}+}{\phantom{{x^{5}+n^{5}}}}}\\
&\qquad\qquad\qquad\;\; \frac{+10\cancelto{0}{\dfrac{(1^{3}+2^{3}+...n^{3})}{\infty^{3}}}+5\cancelto{0}{\dfrac{(1^{4}+2^{4}+...n^{4})}{\infty^{4}}}+\cancelto{0}{\dfrac{(1^{5}+2^{5}+...n^{5})}{\infty^{5}}}}{1+\cancelto{0}{\dfrac{n^{5}}{\infty^{5}}}}=n
\end{align}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\lim_{x\rightarrow \infty}{\frac{(x+1)^{5}+(x+2)^{5}+...+(x+n)^{5}}{x^{5}+n^{5}}}=n}
\]
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