Exercício Resolvido de Limites
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e) \( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\;{\frac{x^{m}-1}{x^{n}-1}}, \qquad m, n \in \mathbb{N} \)
Observação: Podemos fatorar expressões da seguinte maneira
\[
\begin{align}
& x^{2}-1=(x-1)(x+1)\\
& x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1)\\
& x^{4}-1=(x-1)(x^{3}+x^{2}+x+1)
\end{align}
\]
para um termo qualquer
\[
x^{p}-1=(x-1)(x^{p-1}+x^{p-2}+x^{p-3}+...x^{2}+x+1)
\]
Aplicando essa fatoração ao numerador e a denominador da função no limite
\[
\begin{align}
\lim_{x\rightarrow 1}\;{\frac{x^{m}-1}{x^{n}-1}} &=\lim_{x\rightarrow1}\;{\frac{\cancel{(x-1)}(x^{m-1}+x^{m-2}+x^{m-3}+...+x^{2}+x^{1}+1)}{\cancel{(x-1)}(x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3}+...+x^{2}+x^{1}+1)}}=\\
&=\lim_{x\rightarrow1}\;{\frac{(\overbrace{1^{m-1}+1^{m-2}+1^{m-3}+...+1^{2}+1^{1}+1}^{m\ \mathit{termos}})}{(\underbrace{1^{n-1}+1^{n-2}+1^{n-3}+...+1^{2}+1^{1}+1}_{n\ \mathit{termos}})}}=\frac{m}{n}
\end{align}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\lim_{x\rightarrow 1}\;{\frac{x^{m}-1}{x^{n}-1}}=\frac{m}{n}}
\]
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