Exercício Resolvido de Limites
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c)   \( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 2}{\left(\frac{1}{2-x}-\frac{3}{8-x^{3}}\right)} \)

O termo \( 8-x^{3} \) pode ser escrito como \( 8-x^{3}=2^{3}-x^{3} \) usando o Produto Notável \( a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}) \), temos \( 2^{3}-x^{3}=(2-x)(4+2x+x^{2}) \)
\[ \begin{align} \lim_{x\rightarrow2}{\left(\frac{1}{2-x}-\frac{3}{8-x^{3}}\right)} &=\lim_{x\rightarrow2}{\left[\frac{1}{(2-x)}-\frac{3}{(2-x)(4+2x+x^{2})}\right]}=\\[5pt] &=\lim_{x\rightarrow2}{\left[\frac{4+2x+x^{2}-3}{(2-x)(4+2x+x^{2})}\right]}=\\[5pt] &=\lim_{x\rightarrow2}{\left[\frac{1+2x+x^{2}}{(2-x)(4+2x+x^{2})}\right]}=\\[5pt] &=\lim_{x\rightarrow2}{\left[\frac{(x+1)^{2}}{(2-x)(4+2x+x^{2})}\right]} \end{align} \]
Quando x tende a 2 pela esquerda
\[ \lim_{x\rightarrow2}{\left(\frac{1}{2-x}-\frac{3}{8-x^{3}}\right)}=\lim_{x\rightarrow2_{\;\text{-}}}{\left[\frac{(x+1)^{2}}{(2-x)(4+2x+x^{2})}\right]}=+\infty \]
Quando x tende a 2 pela direita
\[ \lim_{x\rightarrow2}{\left(\frac{1}{2-x}-\frac{3}{8-x^{3}}\right)}=\lim_{x\rightarrow2_{\;\text{+}}}{\left[\frac{(x+1)^{2}}{(2-x)(4+2x+x^{2})}\right]}=-\infty \]
Observação: Os temos \( (x+1)^{2} \) e \( (4+2x+x^{2}) \) são positivos, quanto x tende a 2 pela esquerda o termo \( (2-x) \) é maior que zero \( (x<2) \), o limite tende a \( +\infty \), quanto x tende a 2 pela direita o termo \( (2-x) \) é menor que zero \( (x>2) \), o limite tende a \( -\infty \) (Gráfico 1).
Quando x tende a 2 pela esquerda temos valores menores que 2, por exemplo

x f(x)
1,900 7,4
1,990 74,9
1,999 749,9

Quando x tende a 2 pela direita temos valores maiores que 2, por exemplo

x f(x)
2,100 −7,6
2,010 −75,1
2,001 −750,1
Gráfico 1

Como os limites a esquerda e a direita são diferentes o limite não existe.
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