Exercício Resolvido de Derivadas de Funções
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l) \( \displaystyle y=\left(1+4x^{3}\right)\left(1+2x^{2}\right) \)
Usando a regra de derivação de uma constante, a regra de derivação de potência e a regra do produto de funções
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{y=\text{constante}\quad \text{,}\quad y'=0}
\]
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{y=x^{n}\quad \text{,} \quad y'=nx^{n-1}}
\]
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{y=f(x).g(x)\quad \text{,}\quad y'=f'g+fg'}
\]
\[
\begin{gather}
y'=\underbrace{\left(1+4x^{3}\right)}_{f(x)}\underbrace{\left(1+2x^{2}\right)}_{g(x)}\\[5pt]
y'=\left(0+3.4x^{3-1}\right)\left(1+2x^{2}\right)+\left(1+4x^{3}\right)\left(0+2.2x^{2-1}\right)\\[5pt]
y'=12x^{2}\left(1+2x^{2}\right)+\left(1+4x^{3}\right)4x\\[5pt]y'=4x\left[3x\left(1+2x^{2}\right)+1+4x^{3}\right]\\[5pt]
y'=4x\left(3x+3 x.2x^{2}+1+4x^{3}\right)\\[5pt]
y'=4x\left(3x+6x^{3}+1+4x^{3}\right)
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{ y'=4x\left(10x^{3}+3x+1\right)}
\]
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