Exercício Resolvido de Derivadas de Funções
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h) \( \displaystyle y=\frac{(x+1)^{3}}{x^{\frac{3}{2}}} \)
- 1.º método
\[
y=(x+1)^{3}.x^{-{\frac{3}{2}}}
\]
Usando a regra de derivação de uma constante, a regra de derivação de potência, a regra da cadeia e a
regra do produto de funções
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{y=\text{constante}\quad text{,}\quad y'=0}
\]
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{y=x^{n}\quad , \quad y'=nx^{n-1}}
\]
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{F(x)=f(g(x))\quad \text{,}\quad \frac{dF}{dx}=\frac{df}{dg}.\frac{dg}{dx}}
\]
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{y=f(x).g(x)\quad text{,}\quad y'=f'g+fg'}
\]
O primeiro termo da função dada é a composição de duas funções
\( \displaystyle f(g)=g^{3} \)
e
\( \displaystyle g(x)=x+1 \)
\[
\begin{gather}
y'=\overbrace{\left[3(x+1)^{3-1}\right.}^{\frac{df}{dg}}.\overbrace{\left.(x^{1-1}+0)\right]}^{\frac{dg}{dx}}.x^{-{\frac{3}{2}}}+(x+1)^{3}.\left(-{\frac{3}{2}}\right)x^{-{\frac{3}{2}-1}}\\[5pt]
y'=3(x+1)^{2}.x^{0}.x^{-{\frac{3}{2}}}+(x+1)^{3}.\left(-{\frac{3}{2}}\right)x^{\frac{-3-2}{2}}\\[5pt]
y'=3(x+1)^{2}.1.x^{-{\frac{3}{2}}}-\frac{3}{2}(x+1)^{3}.x^{-{\frac{5}{2}}}\\[5pt]
y'=3(x+1)^{2}x^{-{\frac{3}{2}}}-\frac{3}{2}(x+1)^{3}x^{-{\frac{5}{2}}}
\end{gather}
\]
colocando em evidência o termo
\( 3(x+1)^{2}x^{-{\frac{5}{2}}} \)
\[
\begin{gather}
y'=3(x+1)^{2}x^{-{\frac{5}{2}}}\;\left[x-\frac{1}{2}(x+1)\right]\\[5pt]
y'=3(x+1)^{2}x^{-{\frac{5}{2}}}\;\left[\frac{2x-x-1}{2}\right]\\[5pt]
y'=\frac{3(x+1)^{2}x^{-{\frac{5}{2}}}(x-1)}{2}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{y'=\frac{3(x+1)^{2}(x-1)}{2x^{\frac{5}{2}}}}
\]
- 2.º método
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{y=\text{constante}\quad text{,}\quad y'=0}
\]
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{y=x^{n}\quad , \quad y'=nx^{n-1}}
\]
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{F(x)=f(g(x))\quad \text{,}\quad \frac{dF}{dx}=\frac{df}{dg}.\frac{dg}{dx}}
\]
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{y=\frac{f(x)}{g(x)}\quad text{,}\quad y'=\frac{f'g-fg'}{g^{2}}}
\]
O termo do numerador da função dada é a composição de duas funções
\( \displaystyle f(g)=g^{3} \)
e
\( \displaystyle g(x)=x+1 \)
\[
\begin{gather}
y'=\frac{\overbrace{\left[3(x+1)^{3-1}\right.}^{\frac{df}{dg}}.\overbrace{\left.(x^{1-1}+0)\right]}^{\frac{dg}{dx}}.\left(x^{\frac{3}{2}}\right)-(x+1)^{3}.\left(\dfrac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1}\right)}{\left(x^{\frac{3}{2}}\right)^{2}}\\[5pt]
y'=\frac{\left[3(x+1)^{2}.(x^{0})\right].\left(x^{\frac{3}{2}}\right)-(x+1)^{3}.\left(\dfrac{3}{2}x^{\frac{3-2}{2}}\right)}{x^{\frac{3}{2}.2}}\\[5pt]
y'=\frac{3(x+1)^{2}.1.x^{\frac{3}{2}}-(x+1)^{3}.\dfrac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}\\[5pt]
y'=\frac{\dfrac{2.3(x+1)^{2}x^{\frac{3}{2}}-3(x+1)^{3}x^{\frac{1}{2}}}{2}}{x^{3}}\\[5pt]
y'=\frac{6(x+1)^{2}x^{\frac{3}{2}}-3(x+1)^{3}x^{\frac{1}{2}}}{2x^{3}}
\end{gather}
\]
colocando em evidência o termo
\( \dfrac{3(x+1)^{2}x^{\frac{1}{2}}}{x^{3}} \)
\[
\begin{gather}
y'=\frac{3(x+1)^{2}x^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}\left[\frac{2x-(x+1)}{2}\right]\\[5pt]
y'=\frac{3(x+1)^{2}}{x^{3}.x^{-{\frac{1}{2}}}}\left[\frac{2x-x-1}{2}\right]\\[5pt]
y'=\frac{3(x+1)^{2}}{x^{3-\frac{1}{2}}}\left[\frac{x-1}{2}\right]\\[5pt]
y'=\frac{3(x+1)^{2}(x-1)}{2x^{\frac{6-1}{2}}}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{y'=\frac{3(x+1)^{2}(x-1)}{2x^{\frac{5}{2}}}}
\]
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