Exercício Resolvido de Fatoração e Produtos Notáveis
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h) \( \dfrac{a+b}{a-b}+\dfrac{b-a}{a+b}-\dfrac{4 ab}{a^{2}-b^{2}} \)
Colocando todos os termos sobre o termo em comum \( (a^{2}-b^{2})=(a+b).(a-b) \)
\[
\begin{gathered}
\frac{a+b}{a-b}+\frac{b-a}{a+b}-\frac{4 ab}{a^{2}-b^{2}}\\
\frac{(a+b).(a+b)+(b-a).(a-b)-4 ab}{a^{2}-b^{2}}
\end{gathered}
\]
Colocando em evidência o fator −1 no terceiro termo entre parênteses
\[
\begin{gathered}
\frac{(a+b)^{2}-(a-b).(a-b)-4 ab}{a^{2}-b^{2}}\\
\frac{(a+b)^{2}-(a-b)^{2}-4 ab}{a^{2}-b^{2}}
\end{gathered}
\]
Usando os Produtos Notáveis nos termos do numerador
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}
\]
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}
\]
\[
\begin{gathered}
\frac{(a^{2}+2 ab+b^{2})-(a^{2}-2 ab+b^{2})-4 ab}{a^{2}-b^{2}}\\
\frac{a^{2}+2 ab+b^{2}-a^{2}+2 ab-b^{2}-4 ab}{a^{2}-b^{2}}\\\frac{0}{a^{2}-b^{2}}
\end{gathered}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{0}
\]
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