Exercício Resolvido de Fatoração e Produtos Notáveis
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o) \( a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4} \)
Observação: Se a expressão tivesse a forma
\( a^{4}+2a^{2}b^{2}+b^{4} \)
poderíamos aplicar o Produto Notável
\[
(a+b)^{2}=a^{2}+2 ab+b^{2}
\]
no entanto temos na expressão original apena um termo a2b2.
Vamos somar e subtrair a2b2 na expressão original
\[
a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}+a^{2}b^{2}-a^{2}b^{2}
\]
Observação: Estamos somando zero à expressão original
\[
a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}+\underbrace{a^{2}b^{2}-a^{2}b^{2}}_{0}
\]
somar zero não altera em nada a expressão original.
\[
\begin{gathered}
a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}+a^{2}b^{2}-a^{2}b^{2}\\
\left(a^{4}+2a^{2}b^{2}+b^{4}\right)-a^{2}b^{2}
\end{gathered}
\]
Usando o Produto Notável nos termos entre parênteses
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}
\]
\[
\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}-a^{2}b^{2}
\]
Usando o Produto Notável
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{(a+b).(a-b)=a^{2}-b^{2}}
\]
\[
\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}-a^{2}b^{2}=\left[\left(a^{2}+b^{2}\right)+ab\right].\left[\left(a^{2}+b^{2}\right)-ab\right]
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}=\left(a^{2}+b^{2}+ab\right).\left(a^{2}+b^{2}-ab\right)}
\]
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