Exercice Résolu sur les Équations de Cauchy-Riemann
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d) \( \displaystyle w=x^2y^2+i2x^2y^2 \)
Condition 1: La fonction w, donnée dans le problème, est continue sur tout le plan complexe.
Les Équations de Cauchy-Riemann sont données par
\[
\bbox[#99CCFF,10px]
{\begin{gather}
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\[5pt]
\frac{\partial u}{\partial y}=-{\frac{\partial v}{\partial x}}
\end{gather}}
\]
Identification des fonctions u(x, y), partie réelle, et v(x, y),
partie imaginaire
\[
\begin{array}{l}
u(x,y)=x^2y^2\\[5pt]
v(x,y)=2x^2y^2
\end{array}
\]
Calcul des dérivées partielles
\[
\begin{align}
\dfrac{\partial u}{\partial x}=2xy^2 \tag{I} \\[5pt]
\dfrac{\partial v}{\partial y}=4x^2y \tag{II} \\[5pt]
\dfrac{\partial u}{\partial y}=2x^2y \tag{III} \\[5pt]
\dfrac{\partial v}{\partial x}=4xy^2 \tag{IV}
\end{align}
\]
Condition 2: Les dérivées (I), (II), (III) et (IV) sont continues sur tout le plan complexe.
Application des Èquations de Cauchy-Riemann
\[
\begin{gather}
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\[5pt]
2xy^2\neq 4x^2y \tag{V}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{\partial u}{\partial y}=-{\frac{\partial v}{\partial x}}\\[5pt]
2x^2y\neq -4xy^2 \tag{VI}
\end{gather}
\]
Condition 3: La fonction w ne satisfait pas les Équations de Cauchy-Riemann.
La fonction w est continue, les dérivées sont continues, mais la fonction ne satisfait pas les Équations de Cauchy-Riemann.
La fonction w n'est pas analytique dans le plan complexe .
Les Équations de Cauchy-Riemann ne sont pas satisfaites, mais si dans l'équation (V) nous le faisons
\[
\begin{gather}
\cancel 2\cancel xy^{\cancel 2}=\cancelto{2}{4}x^{\cancel 2}\cancel y\\[5pt]
y=2x
\end{gather}
\]
et dans l'équation (VI)
\[
\begin{gather}
\cancel 2x^{\cancel 2}\cancel y=-\cancelto{2}{4}\cancel xy^{\cancel 2}\\[5pt]
x=-2y\\[5pt]
y=-{\frac{1}{2}}x
\end{gather}
\]
- Pour y = 2x
\[
\begin{gather}
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\[5pt]
2x(2x)^2=4x^2(2x)\\8x^{3}=8x^{3}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{\partial u}{\partial y}=-{\frac{\partial v}{\partial x}}\\[5pt]
2x^2(2x)=-4x(2x)^2\\[5pt]
4x^{3}(2x)\neq-16x^{3}
\end{gather}
\]
dans ce cas, la fonction satisfait la première Équation de Cauchy-Riemann, mais ne satisfait pas la
deuxième équation.
- Pour \( y=-{\dfrac{1}{2}}x \)
\[
\begin{gather}
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\[5pt]
2x\left(-{\frac{1}{2}}x\right)^2=4x^2\left(-{\frac{1}{2}}x\right)\\[5pt]
\frac{1}{2}x^{3}\neq2x^{3}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{\partial u}{\partial y}=-{\frac{\partial v}{\partial x}}\\[5pt]
-x^{3}=-x^{3}
\end{gather}
\]
dans ce cas, la fonction satisfait la deuxième Équation de Cauchy-Riemann, mais ne satisfait pas la
première équation.
- Pour x = 0
\[
\begin{split}
\frac{\partial u}{\partial x} &=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{u(0+\Delta x,y)-u(0,y)}{\Delta x}}=\\
&=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{(0+\Delta x)^2y^2-0^2.y^2}{\Delta x}}=\\
&=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{\Delta x^2y^2}{\Delta x}}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\Delta xy^2}=0
\end{split}
\]
\[
\begin{split}
\frac{\partial u}{\partial y} &=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}{\frac{u(0,y+\Delta y)-u(0,y)}{\Delta y}}=\\
&=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}{\frac{0^2.(y+\Delta y)^2-0^2.y^2}{\Delta y}}=0
\end{split}
\]
\[
\begin{split}
\frac{\partial v}{\partial x} &=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{v(0+\Delta x,y)-v(0,y)}{\Delta x}}=\\
&=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{2(0+\Delta x)^2y^2-2.0^2.y^2}{\Delta x}}=\\
&=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{2\Delta x^2 y^2}{\Delta x}}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{2\Delta x y^2}=0
\end{split}
\]
\[
\begin{split}
\frac{\partial u}{\partial y} &=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}{\frac{v(0,y+\Delta y)-v(0,y)}{\Delta y}}=\\
&=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}{\frac{2.0^2.(y+\Delta y)^2-2.0^2y^2}{\Delta y}}=0
\end{split}
\]
- Pour y = 0
\[
\begin{split}
\frac{\partial u}{\partial x} &=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{u(x+\Delta x,0)-u(x,0)}{\Delta x}}=\\
&=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{(x+\Delta x)^2.0^2-x^2.0^2}{\Delta x}}=0
\end{split}
\]
\[
\begin{split}
\frac{\partial u}{\partial y} &=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}{\frac{u(x,0+\Delta y)-u(x,0)}{\Delta y}}=\\
&=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}{\frac{x^2(0+\Delta y)^2-x^2.0^2}{\Delta y}}=\\
&=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}{\frac{x^2\Delta y^2}{\Delta y}}=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}{x^2\Delta y}=0
\end{split}
\]
\[
\begin{split}
\frac{\partial v}{\partial x} &=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{v(x+\Delta x,0)-v(x,0)}{\Delta x}}=\\
&=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{2(x+\Delta x)^2.0^2-2.x^2.0^2}{\Delta x}}=0
\end{split}
\]
\[
\begin{split}
\frac{\partial u}{\partial y} &=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}{\frac{v(x,0+\Delta y)-v(x,0)}{\Delta y}}=\\
&=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}{\frac{2x^2(0+\Delta y)^2-2x^2.0^2}{\Delta y}}=\\
&=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}{\frac{2.x^2\Delta y^2}{\Delta y}}=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}{2.x^2\Delta y}=0
\end{split}
\]
Les Équations de Cauchy-Riemann sont satisfaites pour x = 0 sur la droite réelle quelle que
soit la valeur de y, ou pour y = 0 sur la droite imaginaire quelle que soit la valeur de
x.
La dérivée est donnée par
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
w'=2xy^2+i4xy^2\neq 4x^2y-i2x^2y
\end{gather}
\]
pour x = 0
\[
\begin{gather}
w'=2.0y^2+i4.0y^2=4.0^2y-i2.0^2y
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{w'=0}
\end{gather}
\]
pour y = 0
\[
\begin{gather}
w'=2x.0^2+i4x.0^2=4x^2.0-i2x^2.0
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{w'=0}
\end{gather}
\]
A função w
não é derivável em nenhum ponto do plano complexo, apenas sobre os eixos x = 0 e y = 0
.
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