Exercice Résolu sur les
EN
ES
PT-BR
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Un corps, de masse égale à 2 kg avec une vitesse initiale de 10 m/s dans le sens positif, est soumis à
l'action d'une force variable en fonction de la position, donnée par
\[
\begin{gather}
F_x=-8x \qquad\qquad\text{unités (SI)}
\end{gather}
\]
Quelle sera la distance parcourue par ce corps jusqu'à ce que sa vitesse soit nulle?
Données du problème:
- Masse du corps: m = 2 kg;
- Vitesse initiale du corps: v0 = 10.
Nous choisissons un référentiel avec l'axe Ox orienté vers la droite et l'axe Oy vers le haut (Figure 1).
La force donnée est négative, c'est une force de résistance qui est dirigée dans le sens opposé au mouvement. La force agit en diminuant la vitesse du corps jusqu'à ce que sa vitesse finale soit nulle.
Les Conditions Initiales sont
\[
\begin{align}
& x(0)=0\\[10pt]
& v_{0}=\frac{dx(0)}{dt}=10\;\mathrm{m/s}
\end{align}
\]
Solution:
En appliquant la Deuxième Loi de Newton dans la direction x, la force donnée dans le problème est la seule force dans cette direction.
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf F=m\frac{d^2\mathbf x}{dt^2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
F_x=m\frac{d^2x}{dt^2}\\[5pt]
-8x=2\frac{d^2x}{dt^{2}}\\[5pt]
\frac{d^2x}{dt^2}+4x=0
\end{gather}
\]
Solution de
\( \displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}+4x=0 \)
La solution de ce type d'équation est trouvée en effectuant les substitutions
La solution de ce type d'équation est trouvée en effectuant les substitutions
\[
\begin{align}
& x=\operatorname{e}^{\lambda t}\\[10pt]
& \frac{dx}{dt}=\lambda \operatorname{e}^{\lambda t}\\[10pt]
& \frac{d^2x\theta}{dt^2}=\lambda^2\operatorname{e}^{\lambda t}
\end{align}
\]
en remplaçant ces valeurs dans l'équation différentielle
\[
\begin{gather}
\lambda^2\operatorname{e}^{\lambda t}+4\operatorname{e}^{\lambda t}=0\\[5pt]
\operatorname{e}^{\lambda t}\left(\lambda ^2+4\right)0\\[5pt]
\lambda^2+4=\frac{0}{\operatorname{e}^{\lambda t}}\\[5pt]
\lambda^2+4=0
\end{gather}
\]
c'est l'Équation Caractéristique dont la solution est
\[
\begin{gather}
\lambda_{1,2}=\pm\sqrt{-4\;}\\[5pt]
\lambda_{1,2}=\pm2\mathrm{i}
\end{gather}
\]
La solution de l'équation différentielle sera
\[
\begin{gather}
x=C_1\operatorname{e}^{\lambda_1 t}+C_2\operatorname{e}^{\lambda_2 t}\\[5pt]
x=C_1\operatorname{e}^{2\mathrm{i}t}+C_{2}\operatorname{e}^{-2\mathrm{i}t}
\end{gather}
\]
où C1 et C2 sont des constantes d'intégration, en utilisant la
Formule d'Euler
\( \operatorname{e}^{\mathrm{i}\theta}=\cos\theta+\mathrm{i}\operatorname{sen}\theta \)
\[
\begin{gather}
x=C_1\left(\cos2t+\mathrm{i}\operatorname{sen}2t\right)+C_{2}\left(\cos2t-\mathrm{i}\operatorname{sen}2t\right)\\[5pt]
x=C_1\cos2t+\mathrm{i}C_1\operatorname{sen}2t+C_2\cos2t-\mathrm{i}C_2\operatorname{sen}2t\\[5pt]
x=\left(C_1+C_{2}\right)\cos2t+\mathrm{i}\left(C_1-C_{2}\right)\operatorname{sen}2t
\end{gather}
\]
en définissant deux nouvelles constantes α et β en termes de C1
et C2
\[
\begin{gather}
\alpha\equiv C_1+C_2\\[5pt]
\mathrm{e}\\[5pt]
\beta\equiv\mathrm{i}(C_1-C_2)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
x=\alpha\cos 2t+\beta\operatorname{sen}2t \tag{I}
\end{gather}
\]
En dérivant l'équation (I) par rapport au temps, la fonction x(t) est la somme de deux
fonctions, la dérivée de la somme est donnée par la somme des dérivées
\[
\begin{gather}
(f+g)'=f'+g'
\end{gather}
\]
et les fonctions sinus et cosinus sont des fonctions composées, en utilisant la
Règle de Dérication en Chaîne
\[
\begin{gather}
\frac{df[w(t)]}{dt}=\frac{df}{dw}\frac{dw}{dt}
\end{gather}
\]
avec
\( f=\alpha\cos w \),
\( g=\beta\operatorname{sen}w \)
et
\( w=2t \)
\[
\begin{gather}
\frac{dx}{dt}=\frac{df}{dt}+\frac{dg}{dt} \tag{II}\\[5pt]
\frac{dx}{dt}=\frac{df}{dw}\frac{dw}{dt}+\frac{dg}{dw}\frac{dw}{dt}\\[5pt]
\frac{dx}{dt}=\frac{d\left(\alpha\cos w\right)}{dw}\frac{d\left(2t\right)}{dt}+\frac{d\left(\beta\operatorname{sen}w\right)}{dw}\frac{d\left(2t\right)}{dt}\\[5pt]
\frac{dx}{dt}=\left(-\alpha\operatorname{sen}w\right)(2)+\left(\beta\cos w\right)(2)\\[5pt]
\frac{dx}{dt}=-2ialpha\operatorname{sen}2t+2ibeta\cos2t\\[5pt]
\frac{dx}{dt}=2\left(-\alpha\operatorname{sen}2t+\beta\cos2t\right) \tag{III}
\end{gather}
\]
En remplaçant les Conditions Initiales dans les équations (I) et (III)
\[
\begin{gather}
x(0)=0=\alpha\cos 2\times0+\beta\operatorname{sen}2\times 0\\[5pt]
\alpha=0 \tag{IV}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{dx(0)}{dt}=10=2\left(-0\times\operatorname{sen}2\times 0+\beta\cos 2\times0\right)\\[5pt]
10=2\beta\\[5pt]
\beta=5 \tag{V}
\end{gather}
\]
en remplaçant les constantes (IV) et (V) dans l'équation (I)
\[
\begin{gather}
x=0\cos 2t+5\operatorname{sen}2t
\end{gather}
\]
L'équation du mouvement est donnée par
\[
\begin{gather}
x(t)=5\operatorname{sen}2t \tag{VI}
\end{gather}
\]
Pour trouver l'intervalle de temps pour que la vitesse du corps soit égale à zéro, on dérive l'équation (VI)
Dérivée de
\( \displaystyle x(t)=5\operatorname{sen}2t \)
La fonction x(t) est une fonction composée, en utilisant la Règle de Dérivation en Chaîne donnée en (II), et en faisant \( f=5\operatorname{sen}w \) et \( w=2t \)
La fonction x(t) est une fonction composée, en utilisant la Règle de Dérivation en Chaîne donnée en (II), et en faisant \( f=5\operatorname{sen}w \) et \( w=2t \)
\[
\begin{gather}
\frac{dx}{dt}=\frac{df}{dw}\frac{dw}{dt}\\[5pt]v(t)=\frac{d\left(5\operatorname{sen}w\right)}{dw}\frac{d\left(2t\right)}{dt}\\[5pt]
v(t)=\left(5\cos w\right)(2)\\[5pt]
v(t)=2\times 5\cos 2t\\[5pt]
v(t)=10\cos 2t
\end{gather}
\]
L'équation de la vitesse est donnée par
\[
\begin{gather}
v(t)=10\cos 2t
\end{gather}
\]
en posant v(t) = 0
\[
\begin{gather}
0=10\cos 2t\\[5pt]
\cos 2t=0\\[5pt]
2t=\arccos0\\[5pt]
t=\frac{1}{2}\;\arccos 0
\end{gather}
\]
Valeurs dont l'arccos est zéro (arccos 0)
\[
\begin{gather}
\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},\frac{5\pi}{2},...,\frac{(2n+1)\pi}{2},...\qquad\qquad n=0,1,2,3,...
\end{gather}
\]
En utilisant la première valeur pour laquelle l'arccos est zéro \( \left(\frac{\pi}{2}\right) \), l'intervalle de temps pour que la vitesse s'annule sera
\[
\begin{gather}
t=\frac{1}{2}\times{\frac{\pi}{2}}\\[5pt]
t=\frac{\pi}{4}\;\mathrm s
\end{gather}
\]
en remplaçant cette valeur dans l'équation (VI), la distance parcourue par le corps avant de s'arrêter sera
\[
\begin{gather}
x\left(\frac{\pi}{4}\right)=5\operatorname{sen}2\times{\frac{\pi}{4}}\\[5pt]
x\left(\frac{\pi}{4}\right)=5\operatorname{sen}\frac{\pi }{2}
\end{gather}
\]
De la Trigonométrie
\( \displaystyle \operatorname{sen}\frac{\pi}{2}=1 \)
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{x=5\;\mathrm m}
\end{gather}
\]
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