Exercice Résolu sur les Mouvement Bidimensionnel
publicité   



Un joueur de basket-ball lance la balle en direction du panier à une distance de 4,6 m en formant un angle de 60° avec l'horizontale. Le panier est à une hauteur de 3,05 m et la balle est à 2,25 m du sol lorsqu'elle quitte les mains du joueur. Calculer la vitesse initiale de la balle et le temps nécessaire pour que la balle aille des mains du joueur au panier.


Données du problème:
  • Distance du joueur au panier:    D = 4,6 m;
  • Hauteur de la balle par rapport au sol:    h = 2,25 m;
  • Hauteur du panier par rapport au sol:    H = 3,05 m;
  • Angle de lancement de la balle:    θ = 60°;
  • Accélération de la pesanteur:    g =9,8 m/s2.
Schéma du problème:

Nous choisissons un référentiel au sol avec l'axe Ox pointant vers la droite et l'axe Oy vers le haut, et l'accélération de la pesanteur pointant vers le bas. Le point d'où la balle est lancée est en (x0, y0) = (0; 2,25) (Figure 1).

Figure 1

Solution

La vitesse initiale v0 peut être décomposée dans les directions x et y
\[ \begin{gather} v_{0x}=v_0\cos 60°\\[10pt] v_{0y}=v_0\sin 60° \end{gather} \]
Figura 2

D'après la Trigonométrie,   \( \cos 60°=\dfrac{1}{2} \)   e   \( \sin 60°=\dfrac{\sqrt{3\;}}{2} \)
\[ \begin{gather} v_{0x}=\frac{1}{2}v_0 \tag{I} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} v_{0y}=\frac{\sqrt{3\;}}{2}v_0 \tag{II} \end{gather} \]
Dans la direction x, il n'y a pas d'accélération agissant sur la balle, elle est en Mouvement Rectiligne Uniforme (MRU) donné par
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {S_x=S_{0x}+v_xt} \end{gather} \]
comme dans le mouvement uniforme vx = v0x est constant, nous pouvons remplacer vx par la valeur de (I) et S0x = 0
\[ \begin{gather} S_x=0+\frac{1}{2}v_0t\\[5pt] S_x=\frac{1}{2}v_0t \tag{III} \end{gather} \]
Dans la direction y, la balle est sous l'action de l'accélération de la pesanteur, elle est en chute libre donnée par
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {S_y=S_{0y}+v_{0y}t-\frac{g}{2}t^2} \end{gather} \]
avec −g constant (le signe négatif indique que l'accélération de la pesanteur est opposé a l'orientation de la référence), en remplaçant v0y par la valeur donnée par l'équation (II) et S0y = 2,25 m
\[ \begin{gather} S_y=2,25+\frac{\sqrt{3\;}}{2}v_0t-\frac{9,8}{2} t^2\\[5pt] S_y=2,25+\frac{\sqrt{3\;}}{2}v_0t-4,9 t^2 \tag{IV} \end{gather} \]
D'après la Figure 3, nous voyons que dans le mouvement le long de la direction x, pour des intervalles de temps égaux, nous avons des intervalles de déplacement égaux (Δx1 = Δx2 = Δx3 = Δx4 = Δx5 = Δx6 = Δx7). Dans la direction y, nous voyons que pendant la montée, pour des intervalles de temps égaux, nous avons des intervalles de déplacement de plus en plus petits, la balle étant freinée par l'action de la gravité (Δy1 > Δy2 > Δy3 > Δy4) jusqu'à ce que la vitesse vy atteigne zéro. Ensuite, l'action de la gravité commence à tirer la balle vers le panier avec une vitesse accélérée, donc pour des intervalles de temps égaux, nous avons des intervalles de distance de plus en plus grands (Δy5 < Δy6 < Δy7).
Figure 3

En remplaçant la distance du joueur au panier, Sx = D = 4,6 m, dans l'équation (III).
\[ \begin{gather} 4,6=\frac{1}{2}v_0t \tag{V} \end{gather} \]
En remplaçant la hauteur du panier, hauteur finale, Sx = H = 3,05 m, dans l'équation (IV)
\[ \begin{gather} 3,05=2,25+\frac{\sqrt{3\;}}{2}v_0t-4,9t^2 \tag{VI} \end{gather} \]
Les équations (V) et (VI) forment un système de deux équations à deux inconnues (v0 et t)
\[ \begin{gather} \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{2}v_0t=4,6\\ -4,9t^2+\dfrac{\sqrt{3\;}}{2}v_0t+2,25=3,05 \end{array} \right. \end{gather} \]
en isolant la valeur de v0 dans la première équation du système
\[ \begin{gather} v_0=\frac{2\times 4,6}{t} \tag{VII} \end{gather} \]
et en remplaçant l'équation (VII) dans la deuxième équation du système
\[ \begin{gather} -4,9t^2+\frac{\sqrt{3\;}}{\cancel 2}\times\frac{\cancel 2\times4,6}{\cancel{t}}\cancel{t}=3,05-2,25\\[5pt] 4,9t^2=1,7\times 4,6-0,8\\[5pt] t^2=\frac{7}{4,9}\\[5pt] t^2=1,4\\[5pt] t=\sqrt{1,4\;} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {t\approx 1,2\;\mathrm s} \end{gather} \]
en remplaçant cette valeur dans l'équation (VII)
\[ \begin{gather} v_0=\frac{2\times 4,6}{1,2} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v_0\approx 7,7\;\mathrm{m/s}} \end{gather} \]
publicité   

Creative Commons License
Fisicaexe - Physics Solved Problems by Elcio Brandani Mondadori is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License .