Exercice Résolu sur les Dynamique
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Dans une machine d'Atwood, les deux corps, posés sur une surface horizontale, sont reliés par un fil de masse négligeable et inextensible qui passe à travers une poulie, sans inertie et sans frottement. Étant donné les masses mA = 24 kg et mB = 40 kg. Déterminer les accélérations des corps lorsque:
a) F = 400 N;
b) F = 720 N;
c) F = 1200 N.


Données du problème
  • Masse du corps A:    mA = 24 kg;
  • Masse du corps B:    mB = 40 kg;
  • Accélération de la pesanteur:    g = 9,8 m/s2.
Schéma du problème:

Nous choisissons un référentiel orienté positivement dans le même sens que la force \( \vec F \).
La force appliquée à une poulie se divise également entre les deux côtés (Figure 1-A), donc la force de chaque côté de la poulie sera \( \frac{\vec F}{2} \).

Figure 1

Comme le fil est inextensible et de masse négligeable, elle transmet simplement la force dans la poulie aux corps, donc la composante de la force \( \vec F \) sur chaque corps sera également \( \frac{\vec F}{2} \) (Figure 1-B).

En faisant un Diagramme de Corps Libre, nous avons les forces agissant sur les blocs

  • Corps A (Figure 2):
    • \( \dfrac{\vec{F}}{2} \): force transmise par la poulie;
    • \( {\vec P}_{\small A} \): poids du corps A.
Figure 2

  • Corps B (Figure 3):
    • \( \dfrac{\vec F}{2} \): force transmise par la poulie;
    • \( {\vec P}_{\small B} \): poids du corps B.
Figure 3

Solution

En appliquant la Deuxième Loi de Newton
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec F=m\vec a} \end{gather} \]
  • Corps A:
\[ \begin{gather} \frac{F}{2}-P_{\small A}=m_{\small A}a_{\small A} \tag{I} \end{gather} \]
  • Corps B:
\[ \begin{gather} \frac{F}{2}-P_{\small B}=m_{\small B}a_{\small B} \tag{II} \end{gather} \]
Le poids est donné par
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \end{gather} \]
pour les corps A et B
\[ \begin{gather} P_{\small A}=m_{\small A}g \tag{III} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} P_{\small B}=m_{\small B}g \tag{IV} \end{gather} \]
en remplaçant l'équation (III) dans l'équation (I)
\[ \begin{gather} \frac{F}{2}-m_{\small A}g=m_{\small A}a_{\small A} \tag{V} \end{gather} \]
en remplaçant l'équation (IV) dans l'équation (II)
\[ \begin{gather} \frac{F}{2}-m_{\small B}g=m_{\small B}a_{\small B} \tag{VI} \end{gather} \]

a) Pour   \( F=400\;\text{N} \),   l'accélération du corps A est donnée par l'équation (V)
\[ \begin{gather} a_{\small A}=\frac{\dfrac{400}{2}-24\times 9,8}{24}\\[5pt] a_{\small A}=-{\frac{35,2}{24}}\\[5pt] a_{\small A}=-1,5\;\mathrm{m/s^2} \end{gather} \]
Pour le corps B en utilisant l'équation (VI)
\[ \begin{gather} a_{\small B}=\frac{\dfrac{400}{2}-40\times 9,8}{40}\\[5pt] a_{\small B}=-{\frac{192}{40}}\\[5pt] a_{\small B}=-4,8\;\mathrm{m/s^2} \end{gather} \]
Comme les accélérations sont négatives, les corps doivent se déplacer contre l'orientation du référentiel (vers le bas), mais comme ils sont sur une surface, ils restent immobiles et leurs accélérations sont nulles

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a_{\small A}=a_{\small B}=0} \end{gather} \]
Figure 4

b) Pour   \( F=720\;\text{N} \),   l'accélération du corps A sera donnée par l'équation (V)
\[ \begin{gather} a_{\small A}=\frac{\dfrac{720}{2}-24\times 9,8}{24}\\[5pt] a_{\small A}=\frac{124,8}{24}\\[5pt] a_{\small A}=5,2\;\mathrm{m/s^2} \end{gather} \]
Pour le corps B en utilisant l'équation (VI)
\[ \begin{gather} a_{\small B}=\frac{\dfrac{720}{2}-40\times 9,8}{40}\\[5pt] a_{\small B}=-{\frac{32}{40}}\\[5pt] a_{\small B}=-0,8\;\mathrm{m/s^2} \end{gather} \]
Le corps A a une accélération

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a_{\small A}=5,2\;\mathrm{m/s^2}} \end{gather} \]

Comme l'accélération du corps B est négative, il doit se déplacer contre l'orientation du référentiel (vers le bas), mais comme il est sur une surface, il reste immobile et son accélération est nulle

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a_{\small B}=0} \end{gather} \]
Figure 5

c) Pour   \( F=1200\;\text{N} \),   l'accélération du corps A sera donnée par l'équation (V)
\[ \begin{gather} a_{\small A}=\frac{\dfrac{1200}{2}-24\times 9,8}{24}\\[5pt] a_{\small A}=\frac{364,8}{24}\\[5pt] a_{\small A}=15,2\;\mathrm{m/s^2} \end{gather} \]
Pour le corps B en utilisant l'équation (VI)
\[ \begin{gather} a_{\small B}=\frac{\dfrac{1200}{2}-40\times 9,8}{40}\\[5pt] a_{\small B}=\frac{208}{40}\\[5pt] a_{\small B}=4,3\;\mathrm{m/s^2} \end{gather} \]
Le corps A a une accélération

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a_{\small A}=15,2\;\mathrm{m/s^2}} \end{gather} \]

et le corps B a une accélération

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a_{\small B}=4,3\;\mathrm{m/s^2}} \end{gather} \]
Figure 6
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