Exercice Résolu sur les Dynamique
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Un bloc, de masse 5 kg, est lancé avec une vitesse initiale de 20 m/s dans une direction ascendante sur un plan incliné à 45°. Il n'y a pas de frottement entre le bloc et le plan incliné. Déterminer la distance que le bloc parcourra avant de s'arrêter.


Données du problème:
  • Masse du bloc:    m = 5 kg;
  • Vitesse initiale du bloc:    v0 = 20 m/s;
  • Angle d'inclinaison du plan:    θ = 45°;
  • Accélération de la pesanteur:    g = 9,8 m/s2;
Schéma du problème:

Nous choisissons un référentiel orienté dans la direction ascendante du plan incliné et avec l'axe-x parallèle au plan (Figure 1).

Figure 1

En faisant un Diagramme de Corps Libre, nous avons les forces agissant sur le bloc (Figure 2-A).

  • \( \vec P \): poids du corps;
  • \( \vec N \): force de réaction normale de la surface sur le corps.
La force poids peut être décomposée en deux, une composante parallèle à l'axe-x, \( {\vec P}_{\small P} \), et l'autre normale ou perpendiculaire, \( {\vec P}_{\small N} \) (Figure 2-A).
Nous dessinons les forces dans un système de coordonnées Oxy (Figure 2-B).
Figure 2

Solution

En appliquant la Deuxième Loi de Newton
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec F=m\vec a} \end{gather} \]
  • Direction x:
\[ \begin{gather} -P_{\small P}=ma \tag{I} \end{gather} \]
la composante parallèle du poids est donnée par
\[ \begin{gather} P_{\small P}=P\sin\theta \tag{II} \end{gather} \]
le poids est donnée par
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \tag{III} \end{gather} \]
en substituant l'équation (III) dans l'équation (II)
\[ \begin{gather} P_{\small P}=mg\sin\theta \tag{IV} \end{gather} \]
en substituant l'équation (IV) dans l'équation (I)
\[ \begin{gather} -\cancel{m}g\sin\theta=\cancel{m}a\\[5pt] a=-g\sin 45° \end{gather} \]

De la trigonométrie, nous avons que   \( \sin 45°=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \)

\[ \begin{gather} a=-9.8\times\frac{\sqrt{2\;}}{2}\\[5pt] a\approx -6.9\;\mathrm{m/s^2} \end{gather} \]
le signe négatif de l'accélération indique qu'elle est dans le sens opposé à celui de l'orientation de la trajectoire et que le bloc est en train de freiner.
En appliquant l'équation de vitesse en fonction l'accélération et du déplacement
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v^2=v_0^2+2a\Delta S} \end{gather} \]
Le bloc décélère jusqu'à ce que sa vitesse finale soit nulle, v = 0, et en remplaçant la vitesse initiale donnée dans le problème et l'accélération calculée ci-dessus
\[ \begin{gather} \Delta S=\frac{v^2-v_0^2}{2a}\\[5pt] \Delta S=\frac{0^2-(20)^2}{2\times(-6,9)} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\Delta S\approx 28,0\;\mathrm m} \end{gather} \]
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