Exercice Résolu sur les Champ Magnétique
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À un point de São Paulo (ville brésilienne), le vecteur du champ magnétique terrestre a une module \( B_{\small T}=8 \pi \times 10^{–6} \mathrm T \). À ce point, on place un solénoïde de telle manière que son axe soit parallèle au champ terrestre \( {\vec B}_{\small T} \). La longueur du solénoïde est de 0,25 m et il comporte 500 spires. Calculer l'intensité du courant nécessaire pour que le champ magnétique à l'intérieur soit nul. Perméabilité Magnétique du vide \( \mu_0=4\pi \times 10^{-7}\;\mathrm{\frac{T.m}{A}} \).
Données du problème:
- Longueur du solénoïde: ℓ = 0,25 m;
- Nombre de spires du solénoïde: N = 500 spires;
- Champ magnétique sur place: \( B_{\small T}=8 \pi \times 10^{–6} \mathrm T \);
- Perméabilité Magnétique du vide: \( \mu_0=4\pi \times 10^{-7}\;\mathrm{\frac{T.m}{A}} \).
Considérons la direction du champ magnétique terrestre,
\( {\vec B}_{\small T} \),
comme positive (Figure 1).
Le vecteur résultant du champ magnétique est donné par
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\vec B={\vec B}_{\small S}+{\vec B}_{\small T}}
\end{gather}
\]
En module, pour que le résultat du champ magnétique soit nul, nous avons la condition
\[
\begin{gather}
B_{\small T}-B_{\small S}=0 \tag{I}
\end{gather}
\]
Le module du champ magnétique d'un solénoïde est donné par
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{B_S=\mu_0\frac{N}{\ell}i} \tag{II}
\end{gather}
\]
en remplaçant l'expression (II) pour le champ magnétique du solénoïde dans l'équation (I).
\[
\begin{gather}
B_{\small T}-\mu_{0}\frac{N}{\ell}i=0\\[5pt]
i=\frac{B_{\small T} \ell}{\mu_{0} N}\\[5pt]
i=\frac{8\cancel{\pi}\times10^{-6}\times 0,25}{4\cancel{\pi}\times 10^{-7}\times 500}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{i=0,01\;\mathrm A=10\;\mathrm{mA}}
\end{gather}
\]
Remarque: le nombre de spires, 500, est une grandeur sans dimension. La spire n'est pas une
grandeur physique, c'est pourquoi elle n'apparaît pas dans l'unité finale du problème.
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