Exercício Resolvido de Oscilações Harmônicas
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Determine a equação de movimento e o período de oscilações para um pêndulo simples no regime de pequenas oscilações.
Esquema do problema:
Vamos adotar que o pêndulo é formado por uma esfera, de massa m, e uma corda de comprimento L, inextensível e de massa desprezível. Consideremos o raio da esfera muito pequeno, de tal modo que pode ser desprezado em relação ao comprimento da corda. Se a massa da corda e o raio da esfera não pudessem ser desprezados teríamos um pêndulo composto.
No pêndulo atuam as seguintes forças (Figura 1-A):
- P: força peso;
- T: força tração da corda.
Adotamos um sistema de referência em coordenada cilindricas, onde er, eθ e ez são os vetores unitários nas direções r, θ e z (Figura 1-B). Os vetores er e eθ estão contidos no plano de oscilação do pêndulo e o vetor ez está perpendicular ao plano, no sentido para “fora” (Figura 1-C).
Solução
O torque devido ao movimento do pêndulo é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf{\tau}=\frac{d\mathbf{L}}{dt}} \tag{I}
\end{gather}
\]
o torque τ é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf{\tau}=\mathbf{r}\times{\mathbf{F}}} \tag{II}
\end{gather}
\]
o momento angular L é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf{L}=\mathbf{r}\times{\mathbf{p}}} \tag{III}
\end{gather}
\]
a quantidade de movimento é p dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf{p}=m\mathbf{v}} \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (IV) na expressão (III)
\[
\begin{gather}
\mathbf{L}=\mathbf{r}\times(m\mathbf{v})\\
\mathbf{L}=m\;\mathbf{r}\times{\mathbf{v}} \tag{V}
\end{gather}
\]
a velocidade tangencial v é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf{v}=\mathbf{\omega}\times{\mathbf{r}}} \tag{VI}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (VI) na expressão (V)
\[
\begin{gather}
\mathbf{L}=m\;\mathbf{r}\times(\mathbf{\omega}\times {\mathbf{r}}) \tag{VII}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (II) e (VII) na expressão (I)
\[
\begin{gather}
\mathbf{r}\times{\mathbf{F}}=\frac{d}{dt}m\;\mathbf{r}\times(\mathbf{\omega}\times{\mathbf{r}}) \tag{VIII}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\mathbf{F}=\mathbf{P}+\mathbf{T}\\[5pt]
\mathbf{F}=\mathbf{P}_{T}+\mathbf{P}_{N}+\mathbf{T}
\end{gather}
\]
onde
\( \mathbf{r}=r\;{\mathbf{e}}_{r} \)
\( \mathbf{P}_{T}=-P\operatorname{sen}\theta\;{\mathbf{e}}_{\theta} \)
\( \mathbf{P}_{N}=P\cos \theta\;{\mathbf{e}}_{r} \)
\( \mathbf{T}=-T\;{\mathbf{e}}_{r} \)
\[
\begin{gather}
\mathbf{F}=-P\operatorname{sen}\theta\;{\mathbf{e}}_{\theta}+P\cos \theta\;{\mathbf{e}}_{r}-T\;{\mathbf{e}}_{r}\\[5pt]
\mathbf{F}=-P\operatorname{sen}\theta\;{\mathbf{e}}_{\theta}+P\cos \theta-T\;{\mathbf{e}}_{r}
\end{gather}
\]
O produto vetorial
\( \mathbf{r}\times\mathbf{F} \)
será (Figura 2)
\[
\begin{gather}
\mathbf{r}\times\mathbf{F}=
\left|
\begin{matrix}
{\mathbf{e}}_{r}&{\mathbf{e}}_{\theta} &{\mathbf{e}}_{z}\\
r &0 &0\\
P\cos \theta-T &-P\operatorname{sen}\theta&0
\end{matrix}
\right|=\\[5pt]
=[0.0-0.(-P\operatorname{sen}\theta)]\;{\mathbf{e}}_{r}-[r.0-0.P\cos \theta]{\mathbf{e}}_{\theta }+[-rP\operatorname{sen}\theta-0.P\cos \theta ]\;{\mathbf{e}}_{z}\\[5pt]
\mathbf{r}\times\mathbf{F}=-rP\operatorname{sen}\theta\;{\mathbf{e}}_{z} \tag{IX}
\end{gather}
\]
O produto vetorial \( \mathbf{r}\times (\mathbf{\omega}\times{\mathbf{r}}) \) será (Figura 3)
onde
\( \mathbf{r}=r\;{\mathbf{e}}_{r} \)
\( \mathbf{\omega}=\omega\;{\mathbf{e}}_{z} \)
\[
\begin{gather}
\mathbf{\omega}\times{\mathbf{r}}=
\left|
\begin{matrix}
{\mathbf{e}}_{r}&{\mathbf{e}}_{\theta}&{\mathbf{e}}_{z}\\
0 &0 &\omega\\
r &0 &0
\end{matrix}
\right|
\text{=}\\[5pt]
\text{=}[0.0-0.\omega]\;{\mathbf{e}}_{r}-[0.0-\omega.r]\;{\mathbf{e}}_{\theta}+[0.0-0.r]\;{\mathbf{e}}_{z}\\[5pt]
\mathbf{\omega}\times {\mathbf{r}}=\omega r\;{\mathbf{e}}_{\theta}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\mathbf{r}\times (\mathbf{\omega}\times{\mathbf{r}})=
\left|
\begin{matrix}
{\mathbf{e}}_{r}&{\mathbf{e}}_{\theta}&{\mathbf{e}}_{z}\\
r &0 &0\\
0 &\omega r &0
\end{matrix}
\right|
\text{=}\\[5pt]
\text{=}[0.0-0.\omega r]\;{\mathbf{e}}_{r}-[r.0-0.0]\;{\mathbf{e}}_{\theta}+[\omega r^{2}-0.0]\;{\mathbf{e}}_{z}\\[5pt]
\mathbf{r}\times (\mathbf{\omega}\times{\mathbf{r}})=\omega r^{2}\;{\mathbf{e}}_{z} \tag{X}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (IX) e (X) na expressão (VIII)
\[
-rP\operatorname{sen}\theta\;{\mathbf{e}}_{z}=m\frac{d}{dt}(\omega r^{2})\;{\mathbf{e}}_{z}
\]
Substituindo a força peso
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{P=mg}
\]
e fazendo r = L e escrevendo a expressão em módulo
\[
\begin{gather}
-L\cancel{m}g\operatorname{sen}\theta=\cancel{m}\frac{d}{dt}\left(\frac{d\theta}{dt}L^{2}\right)\\
-{\frac{g}{L}}\operatorname{sen}\theta=\ddot{\theta }
\end{gather}
\]
como estamos trabalhando em um regime de pequenas oscilações podemos expandir a função sen θ em uma
série de Taylor.
Expansão em série de Taylor de sen θ
\( \displaystyle \frac{f^{0}(0)}{0!}\theta ^{0}=\frac{\operatorname{sen}0}{1}.1=0 \)
Observação: \( f^{0} \) NÃO significa a função f elevada a potência zero, significa a derivada de ordem zero da função f, ou seja, a própria função calculada no pondo a.
\( \displaystyle \frac{f^{\text{I}}(0)}{1!}\theta ^{1}=\frac{\cos 0}{1}\theta =\theta \)
\( \displaystyle \frac{f^{\text{II}}(0)}{2!}\theta^{2}=\frac{-\operatorname{sen}0}{2.1}\theta ^{2}=0 \)
\( \displaystyle \frac{f^{\text{III}}(0)}{3!}\theta ^{3}=\frac{-\cos 0}{3.2.1}\theta^{3}=-{\frac{\theta ^{3}}{6}} \)
\( \displaystyle \frac{f^{\text{IV}}(0)}{4!}\theta^{4}=\frac{-(-\operatorname{sen}0)}{4.3.2.1}\theta ^{4}=0 \)
\( \displaystyle \frac{f^{\text{V}}(0)}{5!}\theta ^{5}=\frac{\cos 0}{5.4.3.2.1}\theta^{5}=\frac{\theta ^{5}}{120} \)
A função seno pode ser representada pela seguinte série de potências
Para um ângulo de \( 10°=\frac{\pi}{18}=0,1745 \), temos \( \operatorname{sen}\frac{\pi}{18}=0,1736 \), a aproximação representa um erro de 0,5%.
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{f(x)=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac{f^{n}(a)}{n!}(x-a)^{n}}}
\]
fazendo a expansão em torno do ponto de equilíbrio com a = 0, para os 6 primeiros termos da série,
temos
\( \displaystyle \frac{f^{0}(0)}{0!}\theta ^{0}=\frac{\operatorname{sen}0}{1}.1=0 \)
Observação: \( f^{0} \) NÃO significa a função f elevada a potência zero, significa a derivada de ordem zero da função f, ou seja, a própria função calculada no pondo a.
\( \displaystyle \frac{f^{\text{I}}(0)}{1!}\theta ^{1}=\frac{\cos 0}{1}\theta =\theta \)
\( \displaystyle \frac{f^{\text{II}}(0)}{2!}\theta^{2}=\frac{-\operatorname{sen}0}{2.1}\theta ^{2}=0 \)
\( \displaystyle \frac{f^{\text{III}}(0)}{3!}\theta ^{3}=\frac{-\cos 0}{3.2.1}\theta^{3}=-{\frac{\theta ^{3}}{6}} \)
\[ \displaystyle \frac{f^{\text{III}}(0)}{3!}\theta ^{3}=\frac{-\cos 0}{3.2.1}\theta^{3}=-{\frac{\theta ^{3}}{6}} \]
\( \displaystyle \frac{f^{\text{IV}}(0)}{4!}\theta^{4}=\frac{-(-\operatorname{sen}0)}{4.3.2.1}\theta ^{4}=0 \)
\[ \displaystyle \frac{f^{\text{IV}}(0)}{4!}\theta^{4}=\frac{-(-\operatorname{sen}0)}{4.3.2.1}\theta ^{4}=0 \]
\( \displaystyle \frac{f^{\text{V}}(0)}{5!}\theta ^{5}=\frac{\cos 0}{5.4.3.2.1}\theta^{5}=\frac{\theta ^{5}}{120} \)
\[ \displaystyle \frac{f^{\text{V}}(0)}{5!}\theta ^{5}=\frac{\cos 0}{5.4.3.2.1}\theta^{5}=\frac{\theta ^{5}}{120} \]
A função seno pode ser representada pela seguinte série de potências
\[
\operatorname{sen}\theta =\theta -\frac{\theta ^{3}}{6}+\frac{\theta^{5}}{120}-...
\]
Como estamos considerando θ um ângulo pequeno podemos fazer a aproximação
\[
\operatorname{sen}\theta \approx \theta
\]
e desprezamos os termos de potências maiores.Para um ângulo de \( 10°=\frac{\pi}{18}=0,1745 \), temos \( \operatorname{sen}\frac{\pi}{18}=0,1736 \), a aproximação representa um erro de 0,5%.
\[
\ddot{\theta}+\frac{g}{L}\theta =0
\]
Solução da equação diferencial \( \displaystyle \ddot{\theta}+\frac{g}{L}\theta =0 \)
A solução é do tipo exponencial, calculando suas derivadas, temos
A solução é do tipo exponencial, calculando suas derivadas, temos
\[
\begin{array}{l}
\theta =\operatorname{e}^{\lambda t} \\
\dot{\theta}=\lambda \operatorname{e}^{\lambda t} \\
\ddot{\theta}=\lambda^{2}\operatorname{e}^{\lambda t}
\end{array}
\]
substituindo na equação
\[
\begin{gather}
\lambda ^{2}\operatorname{e}^{\lambda t}+\frac{g}{L}\operatorname{e}^{\lambda t}=0\\
\lambda^{2}+\frac{g}{L}=0\\\lambda ^{2}=-{\frac{g}{L}}\\
\lambda =\pm i\sqrt{\frac{g}{L}}
\end{gather}
\]
fazendo a seguinte definição
\( \omega_{0}^{2}=\frac{g}{L} \)
a solução é da seguinte forma, onde C1 e C2 são constantes
\[
\theta (t)=C_{1}\operatorname{e}^{i\omega_{0}t}+C_{2}\operatorname{e}^{-i\omega_{0}t}
\]
usando a fórmula de Euler
\( \operatorname{e}^{ix}=\cos x+i\operatorname{sen}x \)
\[
\begin{gather}
\theta (t)=C_{1}\left(\cos \omega_{0}t+i\operatorname{sen}\omega_{0}t\right)+C_{2}\left(\cos \omega_{0}t-i\operatorname{sen}\omega_{0}t\right)\\
\theta(t)=\left(C_{1}+C_{2}\right)\cos \omega_{0}t-i\left(C_{2}-C_{1}\right)\operatorname{sen}\omega_{0}t
\end{gather}
\]
definindo as seguintes constantes
\[
A=C_{1}+C_{2}\ \ ,\ \ B=i(C_{2}-C_{1})
\]
\[
\theta (t)=A\cos \omega_{0}t+B\operatorname{sen}\omega_{0}t
\]
fazendo as seguintes definições
\[
\begin{array}{l}
\cos \phi=\dfrac{A}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\\
\operatorname{sen}\phi=\dfrac{B}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\\
\theta_{0}=\sqrt{A^{2}+B^{2}}
\end{array}
\]
substituindo na equação
\[
\begin{gather}
\theta (t)=\left(A\cos \omega_{0}t-B\operatorname{sen}\omega_{0}t\right)\frac{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\\[5pt]
\theta(t)=\sqrt{A^{2}+B^{2}}\left(\frac{A}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\cos \omega_{0}t-\frac{B}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\operatorname{sen}\omega_{0}t\right)\\[5pt]
\theta (t)=\theta_{0}\left(\cos \phi \cos \omega_{0}t-\operatorname{sen}\phi \operatorname{sen}\omega_{0}t\right)
\end{gather}
\]
A equção de movimento será
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\theta (t)=\theta _{0}\cos \left(\omega_{0}t+\phi \right)}
\]
O período de oscilações é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{T=\frac{2\pi }{\omega_{0}}}
\]
substituindo a definição de ω0 feita acima
\[
T=\frac{2\pi }{\sqrt{\frac{g}{L}}}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}}
\]
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