Exercício Resolvido de Oscilações Harmônicas
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Determinar o valor médio da energia potencial, da energia cinética e da energia total de um oscilador harmônico simples.
Solução
O valor médio de uma função é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\langle f(t)\rangle =\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)\;dt} \tag{I}
\end{gather}
\]
A equação da posição de um oscilador harmônico simples é dada por
\[
\begin{gather}
x(t)=A\cos (\omega_{\;0}t+\phi) \tag{II}
\end{gather}
\]
A Energia Potencial de um oscilador harmônico é
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E_{P}=\frac{kx^{2}}{2}} \tag{III}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (II) em (III), temos
\[
E_{P}=\frac{kA^{2}\cos ^{2}(\omega_{0}t+\phi)}{2}
\]
usando a expressão (I) o valor médio da Energia Potencial será
\[
\langle E_{P}\rangle =\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{\frac{kA^{2}\cos^{2}(\omega_{0}t+\phi)}{2}}\;dt
\]
o fator
\( \frac{kA^{2}}{2} \)
é constante e pode “sair” da integral.O período de oscilação é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{T=\frac{2\pi}{\omega_{0}}}
\]
\[
\begin{gather}
\langle E_{P}\rangle=\frac{kA^{2}}{2}\frac{1}{\dfrac{2\pi}{\omega_{0}}}\int_{0}^{{\frac{2\pi}{\omega_{0}}}}\cos ^{2}(\omega_{0}t+\phi)\;dt\\[5pt]
\langle E_{P}\rangle =\frac{kA^{2}}{2}\frac{\omega_{0}}{2\pi}\int_{0}^{{\frac{2\pi}{\omega_{0}}}}\cos ^{2}(\omega_{0}t+\phi)\;dt
\end{gather}
\]
Integral de \( \displaystyle \int_{0}^{{\frac{2\pi}{\omega_{0}}}}\cos ^{2}(\omega_{0}t+\phi)\;dt \)
fazendo a substituição \( \cos ^{2}x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2x \), com \( x=\omega_{0}t+\phi \)
para t = 0
temos \( u=2\phi \)
para \( t=\dfrac{2\pi}{\omega_{0}} \)
temos \( u=2\left(\cancel{\omega_{0}}\dfrac{2\pi}{\cancel{\omega_{0}}}+\phi \right)=4\pi +2\phi \)
fazendo a substituição \( \cos ^{2}x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2x \), com \( x=\omega_{0}t+\phi \)
\[
\begin{align}
\int_{0}^{{\frac{2\pi}{\omega_{0}}}}\cos ^{2}(\omega_{0}t+\phi)\;dt & =\int_{0}^{{\frac{2\pi}{\omega_{0}}}}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2(\omega_{0}t+\phi)\right)\;dt =\\
& =\frac{1}{2}\left(\int_{0}^{{\frac{2\pi}{\omega_{0}}}}dt+\int_{0}^{{\frac{2\pi}{\omega_{0}}}}\cos 2(\omega_{0}t+\phi)\;dt\right)
\end{align}
\]
na 2.ª integral entre parênteses fazendo a mudança de variável
\[
\begin{array}{l}
u=2(\omega_{0}t+\phi)\\
\dfrac{du}{dt}=2\omega_{0}\Rightarrow dt=\dfrac{du}{2\omega_{0}}
\end{array}
\]
fazendo a mudança dos extremos de integração
para t = 0
temos \( u=2\phi \)
para \( t=\dfrac{2\pi}{\omega_{0}} \)
temos \( u=2\left(\cancel{\omega_{0}}\dfrac{2\pi}{\cancel{\omega_{0}}}+\phi \right)=4\pi +2\phi \)
\[ u=2\left(\cancel{\omega_{0}}\dfrac{2\pi}{\cancel{\omega_{0}}}+\phi \right)=4\pi +2\phi \]
\[
\begin{align}
\int_{0}^{{\frac{2\pi}{\omega_{0}}}}\cos ^{2}(\omega_{0}t+\phi)\;dt & =\frac{1}{2}\left(\left.u\;\right|_{\;0}^{\;\frac{2\pi}{\omega_{0}}}+\int_{{2\phi }}^{{4\pi +2\phi}}\cos u\frac{du}{2\omega_{0}}\right)=\\
& =\frac{1}{2}\left[\left.u\;\right|_{\;0}^{\;\frac{2\pi}{\omega_{0}}}+\frac{1}{2\omega_{0}}\left(\left.\operatorname{sen}u\;\right|_{\;2\phi }^{\;4\pi +2\phi}\right)\right]=\\
& =\frac{1}{2}\left[\frac{2\pi}{\omega_{0}}-0+\frac{1}{2\omega_{0}}\left(\operatorname{sen}(4\pi+2\phi)-\operatorname{sen}2\phi\right)\right]=\\
& =\frac{1}{\omega_{0}}\frac{1}{2}\left[2\pi +\frac{1}{2}\left(\operatorname{sen}(4\pi+2\phi)-\operatorname{sen}2\phi \right)\right]
\end{align}
\]
usando a propriedade
\( \operatorname{sen}(a+b)=\operatorname{sen}a\cos b+\operatorname{sen}b\cos a \text{,}\)
\[ \operatorname{sen}(a+b)=\operatorname{sen}a\cos b+\operatorname{sen}b\cos a \]
temos
\[
\begin{align}
\int_{0}^{{\frac{2\pi}{\omega_{0}}}}\cos ^{2}(\omega_{0}t+\phi)\;dt & =\frac{1}{\omega_{0}}\frac{1}{2}\left[2\pi+\frac{1}{2}\left(\underbrace{\operatorname{sen}4\pi}_{0}\cos 2\phi+\operatorname{sen}2\phi \underbrace{\cos 4\pi}_{1}-\operatorname{sen}2\phi \right)\right]=\\
& =\frac{1}{\omega_{0}}\frac{1}{2}\left[2\pi+\frac{1}{2}\underbrace{\left(\operatorname{sen}2\phi-\operatorname{sen}2\phi \right)}_{0}\right]=\frac{1}{\cancel{2}}\frac{\cancel{2}\pi}{\omega_{0}}=\frac{\pi}{\omega_{0}}
\end{align}
\]
\[
\langle E_{P}\rangle =\frac{kA^{2}}{2}\frac{\cancel{\omega_{0}}}{2\cancel{\pi}}\frac{\cancel{\pi}}{\cancel{\omega_{0}}}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\langle E_{P}\rangle =\frac{kA^{2}}{4}}
\]
A Energia Cinética de um oscilador harmônico é
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E_{C}=\frac{mv^{2}}{2}} \tag{IV}
\end{gather}
\]
a velocidade é obtida derivando a expressão (II) em relação ao tempo
\[
v=\frac{dx}{dt}
\]
Derivada de \( x=A\cos (\omega_{0}t+\phi) \)
a função x(t) é uma função composta cuja derivada, pela regra da cadeia, é do tipo
a função x(t) é uma função composta cuja derivada, pela regra da cadeia, é do tipo
\[
\frac{dx[u(t)]}{dt}=\frac{dx}{du}\frac{du}{dt}
\]
com
\( x(u)=A\cos u \)
e
\( u(t)=\omega_{0}t+\phi \),
assim as derivadas serão
\[
\begin{array}{l}
\dfrac{dx}{du}=-A\operatorname{sen}u=-A\operatorname{sen}(\omega_{0}t+\phi)\\
\dfrac{du}{dt}=\omega_{0}
\end{array}
\]
\[
\begin{align}
\frac{dx}{dt} & =A\left[-\operatorname{sen}(\omega_{0}t+\phi)\omega_{0}\right]=\\
& =-\omega_{0}A\operatorname{sen}(\omega_{0}t+\phi)
\end{align}
\]
\[
\begin{gather}
v=-\omega_{0}A\operatorname{sen}(\omega_{0}t+\phi) \tag{V}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (V) em (IV), temos
\[
E_{C}=\frac{m\omega_{0}^{2}A^{2}\operatorname{sen}^{2}(\omega_{0}t+\phi)}{2}
\]
usando a expressão (I) o valor médio da Energia Cinética será
\[
\langle E_{C}\rangle =\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{\frac{m\omega_{0}^{2}A^{2}\operatorname{sen}^{2}(\omega_{0}t+\phi)}{2}}\;dt
\]
o fator
\( \frac{m\omega_{0}^{2}A^{2}}{2} \)
é constante e pode “sair” da integral e usando a mesma expressão para o período (T) acima, temos
\[
\begin{gather}
\langle E_{C}\rangle =\frac{m\omega_{0}^{2}A^{2}}{2}\frac{1}{\dfrac{2\pi}{\omega_{0}}}\int_{0}^{{\frac{2\pi}{\omega_{0}}}}\operatorname{sen}^{2}(\omega_{0}t+\phi)\;dt\\[5pt]
\langle E_{C}\rangle =\frac{m\omega_{0}^{2}A^{2}}{2}\frac{\omega_{0}}{2\pi}\int_{0}^{{\frac{2\pi}{\omega_{0}}}}\operatorname{sen}^{2}(\omega_{0}t+\phi)\;dt
\end{gather}
\]
Integral de \( \displaystyle \int_{0}^{{\frac{2\pi}{\omega_{0}}}}\operatorname{sen}^{2}(\omega_{0}t+\phi)\;dt \)
fazendo a substituição \( \operatorname{sen}^{2}x=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2x \), com \( x=\omega_{0}t+\phi \)
para t = 0
temos \( u=2\phi \)
para \( t=\dfrac{2\pi}{\omega_{0}} \)
temos \( u=2\left(\cancel{\omega_{0}}\dfrac{2\pi}{\cancel{\omega_{0}}}+\phi \right)=4\pi +2\phi \)
fazendo a substituição \( \operatorname{sen}^{2}x=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2x \), com \( x=\omega_{0}t+\phi \)
\[
\begin{align}
\int_{0}^{{\frac{2\pi}{\omega_{0}}}}\operatorname{sen}^{2}(\omega_{0}t+\phi)\;dt & =\int_{0}^{{\frac{2\pi}{\omega_{0}}}}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos2(\omega_{0}t+\phi)\right)\;dt =\\
& =\frac{1}{2}\left(\int_{0}^{{\frac{2\pi}{\omega_{0}}}}dt-\int_{0}^{{\frac{2\pi}{\omega_{0}}}}\cos 2(\omega_{0}t+\phi)\;dt\right)
\end{align}
\]
na 2.ª integral entre parênteses fazendo a mudança de variável
\[
\begin{array}{l}
u=2(\omega_{0}t+\phi)\\
\dfrac{du}{dt}=2\omega_{0}\Rightarrow dt=\dfrac{du}{2\omega_{0}}
\end{array}
\]
fazendo a mudança dos extremos de integração
para t = 0
temos \( u=2\phi \)
para \( t=\dfrac{2\pi}{\omega_{0}} \)
temos \( u=2\left(\cancel{\omega_{0}}\dfrac{2\pi}{\cancel{\omega_{0}}}+\phi \right)=4\pi +2\phi \)
\[ u=2\left(\cancel{\omega_{0}}\dfrac{2\pi}{\cancel{\omega_{0}}}+\phi \right)=4\pi +2\phi \]
\[
\begin{align}
\int_{0}^{{\frac{2\pi}{\omega_{0}}}}\operatorname{sen}^{2}(\omega_{0}t+\phi)\;dt & =\frac{1}{2}\left(\left.u\;\right|_{\;0}^{\;\frac{2\pi}{\omega_{0}}}-\int_{{2\phi }}^{{4\pi +2\phi }}\cos u\frac{du}{2\omega_{0}}\right) =\\
& =\frac{1}{2}\left[\left.u\;\right|_{\;0}^{\;\frac{2\pi}{\omega_{0}}}-\frac{1}{2\omega_{0}}\left(\left.\operatorname{sen}u\;\right|_{\;2\phi }^{\;4\pi +2\phi}\right)\right] =\\
& =\frac{1}{2}\left[\frac{2\pi}{\omega_{0}}-0-\frac{1}{2\omega_{0}}\left(\operatorname{sen}(4\pi+2\phi)-\operatorname{sen}2\phi\right)\right]=\\
& =\frac{1}{\omega_{0}}\frac{1}{2}\left[2\pi -\frac{1}{2}\left(\operatorname{sen}(4\pi+2\phi)-\operatorname{sen}2\phi \right)\right]
\end{align}
\]
usando a propriedade
\( \operatorname{sen}(a+b)=\operatorname{sen}a\cos b+\operatorname{sen}b\cos a \text{,}\)
\[ \operatorname{sen}(a+b)=\operatorname{sen}a\cos b+\operatorname{sen}b\cos a \]
temos
\[
\begin{align}
\int_{0}^{{\frac{2\pi}{\omega_{0}}}}\operatorname{sen}^{2}(\omega_{0}t+\phi)\;dt & =\frac{1}{\omega_{0}}\frac{1}{2}\left[2\pi-\frac{1}{2}\left(\underbrace{\operatorname{sen}4\pi}_{0}\cos 2\phi+\operatorname{sen}2\phi \underbrace{\cos 4\pi}_{1}-\operatorname{sen}2\phi \right)\right]=\\
& =\frac{1}{\omega_{0}}\frac{1}{2}\left[2\pi-\frac{1}{2}\underbrace{\left(\operatorname{sen}2\phi-\operatorname{sen}2\phi \right)}_{0}\right]=\frac{1}{\cancel{2}}\frac{\cancel{2}\pi}{\omega_{0}}=\frac{\pi}{\omega_{0}}
\end{align}
\]
\[
\langle E_{C}\rangle =\frac{m\omega_{0}^{2}A^{2}}{2}\frac{\cancel{\omega_{0}}}{2\cancel{\pi}}\frac{\cancel{\pi}}{\cancel{\omega_{0}}}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\langle E_{C}\rangle =\frac{m\omega_{0}^{2}A^{2}}{4}}
\]
A Energia Total será dada por
\[
\begin{gather}
\langle E_{T}\rangle =\langle E_{P}\rangle +\langle E_{C}\rangle\\
\langle E_{T}\rangle =\frac{kA^{2}}{4}+\frac{m\omega_{0}^{2}A^{2}}{4}
\end{gather}
\]
fazendo a substituição
\( \omega_{0}^{2}=\frac{k}{m} \),
temos
\[
\begin{gather}
\langle E_{T}\rangle=\frac{kA^{2}}{4}+\frac{k}{\cancel{m}}\frac{\cancel{m}A^{2}}{4}\\
\langle E_{T}\rangle=\frac{kA^{2}}{4}+\frac{kA^{2}}{4}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\langle E_{T}\rangle =\frac{kA^{2}}{2}}
\]
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