Exercício Resolvido de Regiões do Plano Complexo
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d)   \( |z-5|-|z+5| \lt 6 \)

Sendo   z = x+iy
\[ \begin{gather} |x+iy-5|-|x+iy+5| \lt 6\\ |(x-5)+iy|-|(x+5)+iy| \lt 6\\ |(x-5)+iy| \lt 6+|(x+5)+iy| \end{gather} \]
elevando ambos os lados da igualdade ao quadrado
\[ (|(x-5)+iy|)^{2} \lt (6+|(x+5)+iy|)^{2} \]
Lembrando que para   z = a+bi
\[ \begin{gather} |z|^{2}=a^{2}+b^{2}\\ |z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} |(x-5)+iy|^{2} \lt 6^{2}+2.6|(x+5)+iy|+|(x+5)+iy|^{2}\\ (x-5)^{2}+y^{2} \lt 36+12\sqrt{(x+5)^{2}+y^{2}}+(x+5)^{2}+y^{2}\\ (x-5)^{2} \lt 36+12\sqrt{(x+5)^{2}+y^{2}}+(x+5)^{2}\\ x^{2}-10x+25 \lt 36+12\sqrt{(x+5)^{2}+y^{2}}+x^{2}+10x+25\\ -10x \lt 36+12\sqrt{(x+5)^{2}+y^{2}}+10x\\ -36-20x \lt 12\sqrt{(x+5)^{2}+y^{2}}\\ -(9+5x) \lt 3\sqrt{(x+5)^{2}+y^{2}}\\ \left[-(9+5x)\right]^{2} \lt \left[3\sqrt{(x+5)^{2}+y^{2}}\right]^{2} \end{gather} \]
novamente elevando ambos os lados ao quadrado
\[ \begin{gather} 81+90x+25x^{2} \lt 9[(x+5)^{2}+y^{2}]\\ 81+90x+25x^{2} \lt 9[x^{2}+10x+25+y^{2}]\\ 81+90x+25x^{2} \lt 9x^{2}+90x+225+9y^{2}\\ 81+25x^{2} \lt 9x^{2}+225+9y^{2}\\ 25x^{2}-9x^{2}-9y^{2} \lt 225-81\\ 16x^{2}-9y^{2} \lt 144\\ \frac{16x^{2}}{144}-\frac{9y^{2}}{144} \lt 1 \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16} \lt 1} \]
Representa os pontos entre os dois ramos da hipérbole de equação   \( \frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1 \)   (Gráfico 1).
Gráfico 1
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