Exercício Resolvido de Regiões do Plano Complexo
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a) \( \displaystyle \text{Im}\frac{z+1}{z-i}=0 \)
Sendo \( z=x+iy \)
\[
\begin{gather}
\text{Im}\left[\frac{x+iy+1}{x+iy-i}\right]=0\\
\text{Im}\left[\frac{(x+1)+iy}{x+i(y-1)}\right]=0
\end{gather}
\]
Multiplicando o numerador e o denominador pelo complexo conjugado do denominador
\( \overline{{z}}=x-i(y-1) \).
\[
\begin{gather}
\text{Im}\left[\frac{(x+1)+iy}{x+i(y-1)}.\frac{(x-i(y-1))}{(x-i(y-1))}\right]=0\\
\text{Im}\left[\frac{x(x+1)-i(x+1)(y-1)+ixy-i^{2}y(y-1)}{x^{2}-ix(y-1)+ix(y-1)-i^{2}(y-1)^{2}}\right]=0
\end{gather}
\]
sendo
\( i^{2}=-1 \)
\[
\begin{gather}
\text{Im}\left[\frac{x(x+1)-i(x+1)(y-1)+ixy-(-1)y(y-1)}{x^{2}-(-1)(y-1)^{2}}\right]=0\\
\text{Im}\left[\frac{x(x+1)-i(x+1)(y-1)+ixy+y(y-1)}{x^{2}+(y-1)^{2}}\right]=0\\
\text{Im}\left[\frac{x(x+1)+y(y-1)}{x^{2}+(y-1)^{2}}+i\frac{xy-(x+1)(y-1)}{x^{2}+(y-1)^{2}}\right]=0
\end{gather}
\]
Separando a parte imaginária, temos
\[
\begin{gather}
\frac{xy-(x+1)(y-1)}{x^{2}+(y-1)^{2}}=0\\
xy-(x+1)(y-1)=0\\
\cancel{xy}-\cancel{xy}+x-y+1=0
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{y=x+1}
\]
Equação de uma reta (Gráfico 1).
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