Exercício Resolvido de Regiões do Plano Complexo
publicidade   



h) \( \text{Re}\dfrac{1}{z}\gt \dfrac{1}{4} \)

Sendo \( z=x+iy \),
\[ \text{Re}\left[\frac{1}{x+iy}\right]\gt \frac{1}{4} \]
multiplicando o numerador e o denominador pelo complexo conjugado (\( \overline{{z}}=x-iy \))
\[ \begin{gather} \text{Re}\left[\frac{1}{x+iy}.\frac{(x-iy)}{(x-iy)}\right]\gt \frac{1}{4}\\ \text{Re}\left[\frac{(x-iy)}{(x.x-ixy+ixy-i.i.y.y)}\right]\gt \frac{1}{4}\\ \text{Re}\left[\frac{(x-iy)}{(x^{2}-i^{2}y^{2})}\right]\gt \frac{1}{4} \end{gather} \]
sendo \( i^{2}=-1 \)
\[ \begin{gather} \text{Re}\left[\frac{(x-iy)}{(x^{2}-(-1)y^{2})}\right]\gt \frac{1}{4}\\ \text{Re}\left[\frac{x-iy}{x^{2}+y^{2}}\right]\gt \frac{1}{4}\\ \text{Re}\left[\frac{x}{x^{2}+y^{2}}-i\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\right]\gt \frac{1}{4}\\ \frac{x}{x^{2}+y^{2}}\gt \frac{1}{4}\\4x\gt x^{2}+y^{2}\\ x^{2}+y^{2}-4x\lt 0 \end{gather} \]
substituindo o sinal de “>” por “=”, obtemos
\[ \begin{gather} 4x=x^{2}+y^{2}\\ x^{2}+y^{2}-4x=0 \end{gather} \]
A expressão acima é a equação de uma circunferência de raio 2 e centrada no ponto (2, 0).
Como queremos os pontos “menor que 0” (<0), isto representa o interior da circunferência, excluindo os pontos da borda da circunferência onde o raio é igual a 4 (Figura 1).

Figura 1

Observação: Tomando-se a Equação Reduzida da Circunferência
\[ (x-x_{C})^{2}+(y-y_{C})^{2}=R^{2} \]
onde xC e yC são as coordenadas do centro da circunferência, e desenvolvedo os termos ao quadrado
\[ \begin{gather} \left(x^{2}-2xx_{C}+x_{C}^{2}\right)+\left(y^{2}-2yy_{C}+y_{C}^{2}\right)=R^{2}\\ x^{2}+y^{2}-2xx_{C}-2yy_{C}+x_{C}^{2}+y_{C}^{2}-R^{2}=0 \end{gather} \]
fazendo-se as seguintes definições

\( m=-2x_{C} \)
\( n=-2y_{C} \)
\( p=x_{C}^{2}+y_{C}^{2}-R^{2} \)
\[ x^{2}+y^{2}+mx+ny+p=0 \]
Esta é a Equação Geral da Circunferência.
Em nosso caso podemos fazer as seguintes associações
\[ \begin{matrix} & x^{2} & + & y^{2} & + & m & x & + & n & y & + & p &=0 \\ & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & \downarrow & & \downarrow & \downarrow & & \downarrow & \\ & x^{2} & + & y^{2} & - & 4\; & x & + & 0\; & y & + & 0 &=0 \end{matrix} \]
assim pelas definições de m, n, p feitas acima, temos
\[ \begin{gather} -4=-2x_{C}\\ x_{C}=\frac{-4}{-2}\\ x_{C}=2 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} 0=-2y_{C}\\ y_{C}=\frac{0}{-2}\\ y_{C}=0 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} 0=(-2)^{2}+0^{2}-R^{2}\\ R^{2}=4\\ R=2 \end{gather} \]
E temos a circunferência com centro no ponto (2, 0) e raio 2.
publicidade   

Licença Creative Commons
Fisicaexe - Exercícios Resolvidos de Física de Elcio Brandani Mondadori está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial-Compartilha Igual 4.0 Internacional .