Exercício Resolvido de Regiões do Plano Complexo
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b) \( 1<|z-i|\lt 2 \)
Dividindo o problema em duas partes;
- \( |z-i|\lt 2 \)
- \( |z-i|\gt 1 \)
\[
\begin{gather}
|(x+iy)-(0+1i)|\lt 2\\
|x+iy-i|\lt 2\\
|x+i(y-1)|\lt 2
\end{gather}
\]
o módulo de um número complexo é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
\]
calculando o módulo da expressão complexa e substituindo o sinal de “<” por “=”, obtemos
\[
\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}\;}=2
\]
elevando ao quadrado de ambos da igualdade
\[
\begin{gather}
\left(\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}\;}\right)^{2}=2^{2}\\
x^{2}+(y-1)^{2}=4
\end{gather}
\]
A expressão acima é a equação de uma circunferência de raio 2 e centrada no ponto (0, 1).
Observação: A expressão
\( x^{2}+(y-1)^{2}=4 \)
pode ser escrita como
\( (x-0)^{2}+(y-1)^{2}=2^{2} \),
onde o centro é o centro (x0, y0)=(0,1) e
R2 = 22.
Como queremos os pontos “menor que 2” (<2) isto representa os pontos do interior da circunferência excluindo os pontos que sejam iguais a 2.
Da mesma forma \( |z-i|\gt 1 \), representa uma circunferência de raio 1 e centrada no ponto (0, 1).
Como queremos os pontos “maior que 1” (>1) isto representa os pontos do exterior da circunferência excluindo os pontos que sejam iguais a 1 (Figura 1).
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