Exercício Resolvido de Fórmula Integral de Cauchy
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f) \( \displaystyle \oint_{|z-2|=3}\frac{\operatorname{e}^{z}}{z^{3}(z-1)}\;dz \)
O caminho é dado pela circunferência de raio 3 com centro no ponto (2, 0), percorrida no sentido
anti-horário (Figura 1).
A Fórmula Integral de Cauchy na forma geral é dada por
A Fórmula Integral de Cauchy na forma geral é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{f^{(n)}(z_{0})=\frac{{n}!}{2\pi \mathrm{i}}\;\oint_{{C}}\frac{f(z)}{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}}\;dz} \tag{I}
\end{gather}
\]
Identificando os termos da integral
\[
\begin{gather}
\frac{{
\bbox[#FFCC66,2px]
{n}
}!}{2\pi \mathrm{i}}\;\oint_{{C}}\frac{
\bbox[#FFFF66,2px]
{f(z)}
}{\left(z-
\bbox[#FFD9CC,2px]
{z_{0}}
\right)^{
\bbox[#FFCC66,2px]
{n}
+1}}\;dz=\underbrace{\oint_{{C_{1}}}
\bbox[#FFFF66,2px]
{{\frac{\operatorname{e}^{z}}{z^{3}}}}
\frac{1}{(z-
\bbox[#FFD9CC,2px]
{1}
)^{
\bbox[#FFCC66,2px]
{0}
+1}}\;dz}_{I_{1}}+\underbrace{\oint_{{C_{2}}}
\bbox[#FFFF66,2px]
{{\frac{\operatorname{e}^{z}}{(z-1)}}}
\frac{1}{(z-
\bbox[#FFD9CC,2px]
{0}
)^{
\bbox[#FFCC66,2px]
{2}
+1}}\;dz}_{I_{2}}
\end{gather}
\]
os pontos \( z-1 \Rightarrow z=1 \) e z = 0 estão no interior da região determinada pelo contorno C, eles serão usados no cálculo da integral, temos \( f_{1}(z)=\frac{\operatorname{e}^{z}}{z^{3}} \), z0 = 1 e n = 0 e \( f_{2}(z)=\frac{\operatorname{e}^{z}}{z-1} \), z0 = 0 e n = 2 e, escrevendo a expressão (I) para cada uma das integrais
\[
\begin{gather}
\oint_{{C}}\frac{f(z)}{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}}\;dz=\frac{2\pi\mathrm{i}}{n!}\;f^{(n)}(z_{0})\\[5pt]
I_{1}=\oint_{{C_{1}=1}}\frac{\operatorname{e}^{z}}{z^{3}(z-1)}\;dz=\frac{2\pi\mathrm{i}}{0!}\;f_{1}^{(0)}(1)\\[5pt]
I_{1}=2\pi\mathrm{i}\;\frac{\operatorname{e}^{1}}{1^{3}}\\[5pt]
I_{1}=2\pi\operatorname{e}\mathrm{i} \tag{II}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\oint_{{C}}\frac{f(z)}{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}}\;dz=\frac{2\pi\mathrm{i}}{n!}\;f^{(n)}(z_{0})\\[5pt]
I_{2}=\oint_{{C_{1}=1}}\frac{\operatorname{e}^{z}}{z^{3}(z-1)}\;dz=\frac{2\pi\mathrm{i}}{2!}\;f_{2}^{(2)}(0)
\end{gather}
\]
Cálculo da derivada segunda de
\( \displaystyle f_{2}(z)=\frac{\operatorname{e}^{z}}{z-1} \)
A função f(z) é o quociente de duas funções, usando a regra para a derivada do quociente
A função f(z) é o quociente de duas funções, usando a regra para a derivada do quociente
\[
\begin{gather}
\left(\frac{u}{v}\right)^{\large '}=\frac{u' v-uv'}{v^{2}}
\end{gather}
\]
onde
\( u(z)=\operatorname{e}^{z} \)
e
\( v(z)=z-1 \)
\[
\begin{gather}
\frac{df}{dz}=\frac{\frac{d\left(\operatorname{e}^{z}\right)}{dz}(z-1)-\left(\operatorname{e}^{2}\right)\frac{d(z-1)}{dz}}{(z-1)^{2}}\\[5pt]
\frac{df}{dz}=\frac{\operatorname{e}^{z}(z-1)-\operatorname{e}^{2}(1)}{(z-1)^{2}}\\[5pt]
\frac{df}{dz}=\frac{\operatorname{e}^{z}(z-1-1)}{(z-1)^{2}}\\[5pt]
\frac{df}{dz}=\frac{\operatorname{e}^{z}(z-2)}{(z-1)^{2}}
\end{gather}
\]
derivando uma segunda vez, aplicando novamente a regra para a derivada do quociente, onde
\( u(z)=\operatorname{e}^{z}(z-2) \)
e
\( v(z)=(z-1)^{2} \)
\[
\begin{gather}
\frac{d^{2}f}{dz^{2}}=\frac{\frac{d\left[\operatorname{e}^{z}(z-2)\right]}{dz}(z-1)^{2}-\left[\operatorname{e}^{2}(z-2)\right]\frac{d(z-1)^{2}}{dz}}{\left[(z-1)^{2}\right]^{2}}
\end{gather}
\]
a função u(z) é um produto de duas funcções, usando a regra para a derivada do produto
\[
\begin{gather}
(gh)'=g' h+gh'
\end{gather}
\]
onde
\( g(z)=\operatorname{e}^{z} \)
e
\( h(z)=(z-2) \),
e a função v(z) é uma função composta, usando a Regra da Cadeia
\[
\begin{gather}
\frac{dp[q(z)]}{dz}=\frac{dp}{dq}\frac{dq}{dz}
\end{gather}
\]
onde
\( p(q)=q^{2} \)
e
\( q(z)=(z-1) \)
\[
\begin{gather}
\frac{d^{2}f}{dz^{2}}=\frac{\left\{\frac{d\left[\operatorname{e}^{z}(z-2)\right]}{dz}\right\}(z-1)^{2}-\left[\operatorname{e}^{2}(z-2)\right]\left\{\frac{d(z-1)^{2}}{dz}\right\}}{\left[(z-1)^{2}\right]^{2}}\\[5pt]
\frac{d^{2}f}{dz^{2}}=\frac{\left\{\frac{d\left(\operatorname{e}^{z}\right)}{dz}(z-2)+\operatorname{e}^{z}\frac{d(z-2)}{dz}\right\}(z-1)^{2}-\left[\operatorname{e}^{2}(z-2)\right]\left\{\frac{d(q)^{2}}{dq}\frac{d(z-1)}{dz}\right\}}{\left[(z-1)^{2}\right]^{2}}\\[5pt]
\frac{d^{2}f}{dz^{2}}=\frac{\left\{\left(\operatorname{e}^{z}\right)(z-2)+\operatorname{e}^{z}(1)\right\}(z-1)^{2}-\left[\operatorname{e}^{2}(z-2)\right]\left\{(2q)(1)\right\}}{(z-1)^{4}}\\[5pt]
\frac{d^{2}f}{dz^{2}}=\frac{\operatorname{e}^{z}(z-2)(z-1)^{2}+\operatorname{e}^{z}(z-1)^{2}-\operatorname{e}^{2}(z-2)\left\{2(z-1)\right\}}{(z-1)^{4}}\\[5pt]
\frac{d^{2}f}{dz^{2}}=\frac{\operatorname{e}^{z}(z-2)(z-1)^{2}+\operatorname{e}^{z}(z-1)^{2}-2\operatorname{e}^{2}(z-2)(z-1)}{(z-1)^{4}}\\[5pt]
\frac{d^{2}f}{dz^{2}}=\frac{\operatorname{e}^{z}(z-1)\left[(z-2)(z-1)+(z-1)-2(z-2)\right]}{(z-1)^{4}}\\[5pt]
\frac{d^{2}f}{dz^{2}}=\frac{\operatorname{e}^{z}\left[z^{2}-z-2z+2+z-1-2z+4\right]}{(z-1)^{3}}\\[5pt]
\frac{d^{2}f}{dz^{2}}=\frac{\operatorname{e}^{z}\left[z^{2}-4z+5\right]}{(z-1)^{3}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
f_{2}^{(2)}(z)=\frac{\operatorname{e}^{z}\left[z^{2}-4z+5\right]}{(z-1)^{3}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
I_{2}=\frac{2\pi\mathrm{i}}{2.1}\;\frac{\operatorname{e}^{0}\left[0^{2}-4.0+5\right]}{(0-1)^{3}}\\[5pt]
I_{2}=-5\pi\mathrm{i} \tag{III}
\end{gather}
\]
o resultado da integral será dado pela soma das expressões (II) e (III)
\[
\begin{gather}
\oint_{|z-2|=3}\frac{\operatorname{e}^{z}}{z^{3}(z-1)}\;dz=I_{1}+I_{2}\\[5pt]
\oint_{|z-2|=3}\frac{\operatorname{e}^{z}}{z^{3}(z-1)}\;dz=2\pi\operatorname{e}\mathrm{i}+(-5\pi \mathrm{i})
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\oint_{|z-2|=3}\frac{\operatorname{e}^{z}}{z^{3}(z-1)}\;dz=\pi\mathrm{i}(2\operatorname{e}-5)}
\end{gather}
\]
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