Exercício Resolvido de Fórmula Integral de Cauchy
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d) \( \displaystyle \oint_{|z|=3}\frac{\cos (z^{2}+3z-1)}{(2z+3)^{2}}\;dz \)
Escrevendo a integral como
\[
\begin{gather}
\oint_{{|z|=3}}\frac{\cos(z^{2}+3z-1)}{\left[2\left(z+\dfrac{3}{2}\right)\right]^{2}}\;dz\\[5pt]
\oint_{{|z|=3}}\frac{\cos(z^{2}+3z-1)}{4\left(z+\dfrac{3}{2}\right)^{2}}\;dz
\end{gather}
\]
O caminho é dado pela circunferência de raio 3 com centro na origm (0, 0), percorrida no sentido
anti-horário (Figura 1).
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{f^{(n)}(z_{0})=\frac{{n}!}{2\pi \mathrm{i}}\;\oint_{{C}}\frac{f(z)}{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}}\;dz} \tag{I}
\end{gather}
\]
Identificando os termos da integral
\[
\begin{gather}
\frac{{
\bbox[#FFCC66,2px]
{n}
}!}{2\pi \mathrm{i}}\;\oint_{{C}}\frac{
\bbox[#FFFF66,2px]
{f(z)}
}{\left(z-
\bbox[#FFD9CC,2px]
{z_{0}}
\right)^{
\bbox[#FFCC66,2px]
{n}
+1}}\;dz=\oint_{{|z|=3}}
\bbox[#FFFF66,2px]
{{\frac{\cos(z^{2}+3z-1)}{4}}}
\frac{1}{\left[z-\left(
\bbox[#FFD9CC,2px]
{{-\dfrac{3}{2}}}
\right)\right]^{
\bbox[#FFCC66,2px]
{1}
+1}}\;dz
\end{gather}
\]
o ponto \( z+\frac{3}{2}=0\Rightarrow z=-{\frac{3}{2}} \) está no interior da região determinada pelo contorno C, ele será usado no cálculo da integral, temos \( f(z)=\frac{\cos (z^{2}+3z-1)}{4} \), \( z_{0}=-{\frac{3}{2}} \), e n = 1, escrevendo a expressão (I)
\[
\begin{gather}
\oint_{C}\frac{f(z)}{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}}\;dz=\frac{2\pi\mathrm{i}}{n!}\;f^{(n)}(z_{0})\\[5pt]
\oint_{|z|=3}\frac{\cos (z^{2}+3z-1)}{(2z+3)^{2}}\;dz=\frac{2\pi\mathrm{i}}{1!}\;f^{(1)}\left(-{\frac{3}{2}}\right)
\end{gather}
\]
Cálculo da derivada de
\( \displaystyle f(z)=\frac{\cos (z^{2}+3z-1)}{4} \)
A função f(z) é uma função composta, usando a Regra da Cadeia
A função f(z) é uma função composta, usando a Regra da Cadeia
\[
\begin{gather}
\frac{du[v(z)]}{dz}=\frac{du}{dv}\frac{dv}{dz}
\end{gather}
\]
onde
\( u(v)=\frac{\cos v}{4} \)
e
\( v(z)=(z^{2}+3z-1) \)
\[
\begin{gather}
\frac{df}{dz}=\frac{d\left(\frac{\cos v}{4}\right)}{dv}\frac{d(z^{2}+3z-1)}{dz}\\[5pt]
\frac{df}{dz}=-{\frac{\operatorname{sen}v}{4}}(2z+3)\\[5pt]
\frac{df}{dz}=-{\frac{(2z+3)}{4}}\operatorname{sen}(z^{2}+3z-1)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
f^{(1)}(z)=-{\frac{(2z+3)}{4}}\operatorname{sen}(z^{2}+3z-1)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\oint_{|z|=3}\frac{\cos(z^{2}+3z-1)}{(2z+3)^{2}}\;dz=\frac{2\pi\mathrm{i}}{1}\;\left\{-{\frac{\left[2.\left(-{\frac{3}{2}}\right)+3\right]}{4}}\operatorname{sen}\left[\left(-{\frac{3}{2}}\right)^{2}+3.\left(-{\frac{3}{2}}\right)-1\right]\right\}\\[5pt]
\oint_{|z|=3}\frac{\cos (z^{2}+3z-1)}{(2z+3)^{2}}\;dz=2\pi\mathrm{i}\;\left\{-{\frac{[-3+3]}{4}}\operatorname{sen}\left[\frac{9}{4}-\frac{9}{2}-1\right]\right\}\\[5pt]
\oint_{|z|=3}\frac{\cos (z^{2}+3z-1)}{(2z+3)^{2}}\;dz=2\pi\mathrm{i}\;\left\{-{\frac{0}{4}}.\operatorname{sen}\left[-{\frac{13}{4}}\right]\right\}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\oint_{{|z|=3}}\frac{\cos (z^{2}+3z-1)}{(2z+3)^{2}}\;dz=0}
\end{gather}
\]
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