Exercício Resolvido de Fórmula Integral de Cauchy
Português
English
publicidade
b) \( \displaystyle \oint_{{C}}\frac{\operatorname{e}^{z}}{z(z-3)}\;dz \)
O caminho é dado pelo contorno C (Figura 1). Podemos dividir o contorno C em duas partes,
um contorno C1 percorrido no sentido horário do lado direito, a integral será
negativa. E um contorno C2 percorrido no sentido anti-horário do lado esquerdo, a
integral será positiva. Apenas o ponto z = 0 está no interior da região determinada pelo contorno
C1, e somente o ponto
\( z-3=0\Rightarrow z=3 \)
está no interior da região determinada pelo contorno C2.
\[
\begin{gather}
\oint_{{C}}\frac{z}{(z+1)(z-2)}\;dz=\underbrace{-{\oint_{{C_{1}}}}\frac{\operatorname{e}^{z}}{z(z-3)}\;dz}_{I_{1}}+\underbrace{\oint_{{C_{2}}}\frac{\operatorname{e}^{z}}{z(z-3)}\;dz}_{I_{2}}
\end{gather}
\]
A integral será dada pela soma das integrais I1 e I2.A Fórmula Integral de Cauchy na forma geral é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{f^{(n)}(z_{0})=\frac{{n}!}{2\pi \mathrm{i}}\;\oint_{{C}}\frac{f(z)}{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}}\;dz} \tag{I}
\end{gather}
\]
Identificando os termos das integrais.
- Integral I1:
\[
\begin{gather}
\frac{{
\bbox[#FFCC66,2px]
{n}
}!}{2\pi \mathrm{i}}\;\oint_{{C}}\frac{
\bbox[#FFFF66,2px]
{f(z)}
}{\left(z-
\bbox[#FFD9CC,2px]
{z_{0}}
\right)^{
\bbox[#FFCC66,2px]
{n}
+1}}\;dz=-\oint_{C}
\bbox[#FFFF66,2px]
{\frac{\operatorname{e}^{z}}{(z-3)}}
\frac{1}{\left[z-
\bbox[#FFD9CC,2px]
{0}
\right]^{
\bbox[#FFCC66,2px]
{0}
+1}}\;dz
\end{gather}
\]
temos
\( f(z)=\frac{\operatorname{e}^{z}}{(z-3)} \),
z0 = 0 e n = 0, escrevendo a expressão (I) para a integral
\[
\begin{gather}
I_{1}=\oint_{{C}}\frac{f(z)}{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}}\;dz=\frac{2\pi\mathrm{i}}{n!}\;f^{(n)}(z_{0})\\[5pt]
I_{1}=-{\oint_{{C_{1}}}}\frac{\operatorname{e}^{z}}{z(z-3)}=\frac{2\pi\mathrm{i}}{0!}\;f^{(0)}(0)\\[5pt]
I_{1}=2\pi\mathrm{i}\;.\left[\frac{\operatorname{e}^{0}}{0-3}\right]\\[5pt]
I_{1}=-{\frac{2\pi\mathrm{i}}{3}} \tag{II}
\end{gather}
\]
- Integral I2:
\[
\begin{gather}
\frac{{
\bbox[#FFCC66,2px]
{n}
}!}{2\pi \mathrm{i}}\;\oint_{{C}}\frac{
\bbox[#FFFF66,2px]
{f(z)}
}{\left(z-
\bbox[#FFD9CC,2px]
{z_{0}}
\right)^{
\bbox[#FFCC66,2px]
{n}
+1}}\;dz=-\oint_{C}
\bbox[#FFFF66,2px]
{\frac{\operatorname{e}^{z}}{z}}
\frac{1}{\left[z-
\bbox[#FFD9CC,2px]
{3}
\right]^{
\bbox[#FFCC66,2px]
{0}
+1}}\;dz
\end{gather}
\]
temos
\( f(z)=\frac{\operatorname{e}^{z}}{z} \),
z0 = 3 e n = 0, escrevendo a expressão (I) para a integral
\[
\begin{gather}
I_{2}=\oint_{{C}}\frac{f(z)}{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}}\;dz=\frac{2\pi\mathrm{i}}{n!}\;f^{(n)}(z_{0})\\[5pt]
I_{2}=\oint_{{C_{2}}}\frac{\operatorname{e}^{z}}{z(z-3)}\;dz=\frac{2\pi\mathrm{i}}{0!}\;f^{(0)}(3)\\[5pt]
I_{2}=2\pi\mathrm{i}\;.\left(\frac{\operatorname{e}^{3}}{3}\right)\\[5pt]
I_{2}=\frac{2\operatorname{e}^{3}\pi\mathrm{i}}{3} \tag{III}
\end{gather}
\]
O resultado da integral será dado pela diferença dos valores de (II) e (III)
\[
\begin{gather}
\oint_{{C}}\frac{\operatorname{e}^{z}}{z(z-3)}\;dz=I_{1}-I_{2}\\[5pt]
\oint_{{C}}\frac{\operatorname{e}^{z}}{z(z-3)}\;dz=-{\frac{2\pi\mathrm{i}}{3}}-\frac{2\operatorname{e}^{3}\pi \mathrm{i}}{3}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\oint_{{C}}\frac{\operatorname{e}^{z}}{z(z-3)}\;dz=-\frac{2\pi\mathrm{i}}{3}\left(\operatorname{e}^{3}+1\right)}
\end{gather}
\]
Observação 1: Não precisamos conhecer a equação que descreve o contorno C para o cálculo,
basta saber se os pontos de singularidade estão dentro ou fora da região determinada pelo contorno.
Observação 2: f(0) representa o cálculo da função no ponto z0 sem derivada.
Observação 2: f(0) representa o cálculo da função no ponto z0 sem derivada.
publicidade
Fisicaexe - Exercícios Resolvidos de Física de Elcio Brandani Mondadori está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial-Compartilha Igual 4.0 Internacional .