Exercício Resolvido de Fórmula Integral de Cauchy
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a) \( \displaystyle \oint_{{C}}\frac{z}{(z+1)(z-2)}\;dz \)
O caminho é dado pelo contorno C (Figura 1), percorrida no sentido horário. Os pontos
\( z+1=0\Rightarrow z=-1 \)
e
\( z-2=0\Rightarrow z=2 \)
estão no interior da região determinada pelo contorno, eles serão usados no cálculo da
integral.
Para calclular a integral usamos o método da Decomposição em Frações Parciais
Para calclular a integral usamos o método da Decomposição em Frações Parciais
\[
\begin{gather}
\oint_{{C}}\frac{z}{(z+1)(z-2)}\;dz \tag{I}
\end{gather}
\]
Decomposição de \( \displaystyle \frac{1}{(z+1)(z-2)} \)
\[
\begin{gather}
\frac{1}{(z+1)(z-2)}=\frac{A}{z+1}+\frac{B}{z-2}\\[5pt]
\frac{1}{(z+1)(z-2)}=\frac{A(z-2)+B(z+1)}{(z+1)(z-2)}\\[5pt]
1=A(z-2)+B(z+1) \tag{II}
\end{gather}
\]
fazendo
\( z-2=0\Rightarrow z=2 \)
e substituindo na expressão (II)
\[
\begin{gather}
1=A(2-2)+B(2+1)\\[5pt]
3B+0=1\\[5pt]
B=\frac{1}{3}
\end{gather}
\]
fazendo
\( z+1=0\Rightarrow z=-1 \)
e substituindo na expressão (II)
\[
\begin{gather}
1=A(-1-2)+B(-1+1)\\[5pt]
-3A+0=1\\[5pt]
A=-{\frac{1}{3}}
\end{gather}
\]
substituindo os valores de A e B
\[
\begin{gather}
\frac{1}{(z+1)(z-2)}=\frac{-{\frac{1}{3}}}{z+1}+\frac{\frac{1}{3}}{z-2}\\[5pt]
\frac{1}{(z+1)(z-2)}=-{\frac{1}{3(z+1)}}+\frac{1}{3(z-2)}
\end{gather}
\]
A integral (I) é reescrita como
\[
\begin{gather}
\oint_{{C}}\frac{z}{(z+1)(z-2)}\;dz=\underbrace{\oint_{{C}}-{\frac{z}{3(z+1)}}\;dz}_{I_{1}}+\underbrace{\oint_{{C}}\frac{z}{3(z-2)}\;dz}_{I_{2}}
\end{gather}
\]
A integral será dada pela soma das integrais I1 e I2.A Fórmula Integral de Cauchy na forma geral é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{f^{(n)}(z_{0})=\frac{{n}!}{2\pi \mathrm{i}}\;\oint_{{C}}\frac{f(z)}{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}}\;dz} \tag{III}
\end{gather}
\]
Identificando os termos das integrais.
- Integral I1:
\[
\begin{gather}
\frac{{
\bbox[#FFCC66,2px]
{n}
}!}{2\pi \mathrm{i}}\;\oint_{{C}}\frac{
\bbox[#FFFF66,2px]
{f(z)}
}{\left(z-
\bbox[#FFD9CC,2px]
{z_{0}}
\right)^{
\bbox[#FFCC66,2px]
{n}
+1}}\;dz=\oint_{C}
\bbox[#FFFF66,2px]
{-{\frac{z}{3}}}
\frac{1}{\left[z-
\bbox[#FFD9CC,2px]
{(-1)}
\right]^{
\bbox[#FFCC66,2px]
{0}
+1}}\;dz
\end{gather}
\]
temos
\( f(z)=-{\frac{z}{3}} \),
z0 = −1 e n = 0, escrevendo a expressão (III) para a integral
\[
\begin{gather}
I_{1}=\oint_{{C}}\frac{f(z)}{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}}\;dz=\frac{2\pi\mathrm{i}}{n!}\;f^{(n)}(z_{0})\\[5pt]
I_{1}=\oint_{{C}}-{\frac{z}{3(z+1)}}\;dz=\frac{2\pi\mathrm{i}}{0!}\;f^{(0)}(-1)\\[5pt]
I_{1}=2\pi\mathrm{i}\;.\left[-{\frac{(-1)}{3}}\right]\\[5pt]
I_{1}=\frac{2\pi\mathrm{i}}{3} \tag{IV}
\end{gather}
\]
- Integral I2:
\[
\begin{gather}
\frac{{
\bbox[#FFCC66,2px]
{n}
}!}{2\pi \mathrm{i}}\;\oint_{{C}}\frac{
\bbox[#FFFF66,2px]
{f(z)}
}{\left(z-
\bbox[#FFD9CC,2px]
{z_{0}}
\right)^{
\bbox[#FFCC66,2px]
{n}
+1}}\;dz=\oint_{C}
\bbox[#FFFF66,2px]
{\frac{z}{3}}
\frac{1}{\left[z-
\bbox[#FFD9CC,2px]
{2}
\right]^{
\bbox[#FFCC66,2px]
{0}
+1}}\;dz
\end{gather}
\]
temos
\( f(z)=\frac{z}{3} \),
z0 = 2 e n = 0, escrevendo a expressão (III) para a integral
\[
\begin{gather}
I_{2}=\oint_{{C}}\frac{f(z)}{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}}\;dz=\frac{2\pi\mathrm{i}}{n!}\;f^{(n)}(z_{0})\\[5pt]
I_{2}=\oint_{{C}}\frac{z}{3(z-2)}\;dz=\frac{2\pi\mathrm{i}}{0!}\;f^{(0)}(2)\\[5pt]
I_{2}=2\pi\mathrm{i}\;.\frac{2}{3}\\[5pt]
I_{2}=\frac{4\pi \mathrm{i}}{3} \tag{V}
\end{gather}
\]
O resultado da integral será dado pela soma dos valores de (IV) e (V)
\[
\begin{gather}
\oint_{{C}}\frac{z}{(z+1)(z-2)}\;dz=I_{1}+I_{2}\\[5pt]
\oint_{{C}}\frac{z}{(z+1)(z-2)}\;dz=\frac{2\pi\mathrm{i}}{3}+\frac{4\pi \mathrm{i}}{3}\\[5pt]
\oint_{{C}}\frac{z}{(z+1)(z-2)}\;dz=\frac{6\pi\mathrm{i}}{3}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\oint_{C}\frac{z}{(z+1)(z-2)}\;dz=2\pi \mathrm{i}}
\end{gather}
\]
Observação 1: Não precisamos conhecer a equação que descreve o contorno C para o
cálculo, basta saber se os pontos de singularidade estão dentro ou fora da região determinada pelo
contorno.
Observação 2: f(0) representa o cálculo da função no ponto z0 sem derivada.
Observação 2: f(0) representa o cálculo da função no ponto z0 sem derivada.
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