Exercício Resolvido de Fórmula Integral de Cauchy
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i) \( \displaystyle \oint_{{|z-\mathrm{i}|=1}}\frac{\operatorname{sen}\;\frac{\mathrm{i}z\pi}{2}}{z^{2}+1}\;dz \)
O caminho é dado pela circunferência de raio 1 com centro no ponto (0, 1), percorrida no sentido horário
(Figura 1).
Escrevendo o denominador do integrando como \( z^{2}+1=0\Rightarrow x^{2}=-1\Rightarrow z=\pm \mathrm{i} \)
Escrevendo o denominador do integrando como \( z^{2}+1=0\Rightarrow x^{2}=-1\Rightarrow z=\pm \mathrm{i} \)
\[
\begin{gather}
\oint_{{|z-\mathrm{i}|=1}}\frac{\operatorname{sen}\;\frac{\mathrm{i}z\pi}{2}}{(z+\mathrm{i})(z-\mathrm{i})}\;dz
\end{gather}
\]
A Integral de Cauchy na forma geral é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{f^{(n)}(z_{0})=\frac{{n}!}{2\pi \mathrm{i}}\;\oint_{C}\frac{f(z)}{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}}\;dz} \tag{I}
\end{gather}
\]
Identificando os termos da integral
\[
\begin{gather}
\frac{{n}!}{2\pi \mathrm{i}}\;\oint_{C}\frac{f(z)}{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}}\;dz\oint_{{|z-\mathrm{i}|=1}}\frac{\operatorname{sen}\;\frac{\mathrm{i}z\pi}{2}}{(z+\mathrm{i})(z-\mathrm{i}1)}\;dz\\[5pt]
\frac{{
\bbox[#FFCC66,2px]
{n}
}!}{2\pi\mathrm{i}}\;\oint_{C}\frac{
\bbox[#FFFF66,2px]
{f(z)}
}{\left(z-{
\bbox[#FFD9CC,2px]
{z_{0}}
}\right)^{{
\bbox[#FFCC66,2px]
{n}
}+1}}\;dz=\oint_{{|z-\mathrm{i}|=1}}{{
\bbox[#FFFF66,2px]
{\frac{\operatorname{sen}\;\frac{\mathrm{i}z\pi}{2}}{(z+\mathrm{i})}}}}
\frac{1}{(z-{
\bbox[#FFD9CC,2px]
{\mathrm{i}}
})^{{
\bbox[#FFCC66,2px]
{0}
}+1}}\;dz
\end{gather}
\]
o ponto
\( z-\mathrm{i}=0\Rightarrow z=\mathrm{i} \)
está no interior da região determinada pelo contorno C, ele será usado no cálculo da integral,
temos
\( f(z)=\frac{\operatorname{sen}\;\frac{\mathrm{i}z\pi }{2}}{(z+\mathrm{i})} \),
z0 = i e n = 0, escrevendo a expressão (I) para a integral
\[
\begin{gather}
\oint_{C}\frac{f(z)}{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}}\;dz=\frac{2\pi\mathrm{i}}{n!}\;f^{(n)}(z_{0})\\[5pt]
\oint_{{|z-\mathrm{i}|=1}}\frac{\operatorname{sen}\;\frac{\mathrm{i}z\pi}{2}}{z^{2}+1}\;dz=\frac{2\pi\mathrm{i}}{0!}\;f^{(0)}(\mathrm{i})\\[5pt]
\oint_{{|z-\mathrm{i}|=1}}\frac{\operatorname{sen}\;\frac{\mathrm{i}z\pi}{2}}{z^{2}+1}\;dz=2\pi\mathrm{i}\;\frac{\operatorname{sen}\;\frac{\mathrm{i}(\mathrm{i})\pi}{2}}{(\mathrm{i}+\mathrm{i})}\\[5pt]
\oint_{{|z-\mathrm{i}|=1}}\frac{\operatorname{sen}\;\frac{\mathrm{i}z\pi}{2}}{z^{2}+1}\;dz=2\pi\mathrm{i}\;\frac{\operatorname{sen}\frac{\mathrm{i}^{2}\pi}{2}}{2\mathrm{i}}\\[5pt]
\oint_{{|z-\mathrm{i}|=1}}\frac{\operatorname{sen}\;\frac{\mathrm{i}z\pi}{2}}{z^{2}+1}\;dz=\pi\;\operatorname{sen}\left(-{\frac{\pi }{2}}\right)\\[5pt]
\oint_{{|z-\mathrm{i}|=1}}\frac{\operatorname{sen}\;\frac{\mathrm{i}z\pi}{2}}{z^{2}+1}\;dz=-\pi\;\operatorname{sen}\frac{\pi }{2}\\[5pt]
\oint_{{|z-\mathrm{i}|=1}}\frac{\operatorname{sen}\;\frac{\mathrm{i}z\pi}{2}}{z^{2}+1}\;dz=-\pi
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\oint_{{|z-\mathrm{i}|=1}}\frac{\operatorname{sen}\;\frac{\mathrm{i}z\pi}{2}}{z^{2}+1}\;dz=-\pi}
\end{gather}
\]
Observação 1: O caminho percorrido
\( |\;z-\mathrm{i}\;|=1 \)
é uma circunferência. Para um número complexo
\( z=x+\mathrm{i}y \),
o módulo é dado por
\( \sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}\;}=1 \),
elevando ao quadrado os dois lados da igualdade
\( \left(\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}\;}\right)^{2}=1^{2} \),
obtemos a equação de uma circunferência
\( (x-0)^{2}+(y-1)^{2}=1^{2}, \)
Observação 2: f(0) representa o cálculo da função no ponto z0 sem derivada.
\[ (x-0)^{2}+(y-1)^{2}=1^{2} \]
com raio igual a 1 e centro no ponto (0, 1).
Observação 2: f(0) representa o cálculo da função no ponto z0 sem derivada.
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