Exercício Resolvido de Fórmula Integral de Cauchy
Português
English
publicidade
f) \( \displaystyle \oint_{{|z|=1}}\frac{z^{2}}{z-2\mathrm{i}}\;dz \)
O caminho é dado pela circunferência de raio 1 com centro na origem (0, 0), percorrida no sentido
anti-horário (Figura 1).
A Integral de Cauchy na forma geral é dada por
A Integral de Cauchy na forma geral é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{f^{(n)}(z_{0})=\frac{{n}!}{2\pi \mathrm{i}}\;\oint_{{C}}\frac{f(z)}{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}}\;dz} \tag{I}
\end{gather}
\]
Identificando os termos da integral
\[
\begin{gather}
\frac{{
\bbox[#FFCC66,2px]
{n}
}!}{2\pi \mathrm{i}}\;\oint_{{C}}\frac{
\bbox[#FFFF66,2px]
{f(z)}
}{\left(z-
\bbox[#FFD9CC,2px]
{z_{0}}
\right)^{
\bbox[#FFCC66,2px]
{n}
+1}}\;dz=\oint_{{|z|=1}}\frac{
\bbox[#FFFF66,2px]
{z^{2}}
}{\left(z-
\bbox[#FFD9CC,2px]
{2\mathrm{i}}
\right)^{
\bbox[#FFCC66,2px]
{0}
+1}}\;dz
\end{gather}
\]
O ponto \( z-2\mathrm{i}=0\Rightarrow z=2\mathrm{i} \) estś fora da região determinada pelo contorno C, pelo Teorema da Integral de Cauchy a integral é igual a zero.
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\oint_{{|z|=1}}\frac{z^{2}}{z-2\text{i}}\;dz=0}
\end{gather}
\]
Observação 1: O caminho percorrido
\( |\;z\;|=1 \)
é uma circunferência. Para um número complexo
\( z=x+\mathrm{i}y \),
o módulo é dado por
\( \sqrt{x^{2}+y^{2}\;}=1 \),
elevando ao quadrado os dois lados da igualdade
\( \left(\sqrt{x^{2}+y^{2}\;}\right)^{2}=1^{2} \),
obtemos a equação de uma circunferência
\( (x-0)^{2}+(y-0)^{2}=1^{2}, \)
Observação 2: f(0) representa o cálculo da função no ponto z0 sem derivada.
\[ (x-0)^{2}+(y-0)^{2}=1^{2} \]
com raio igual a 1 e centro na origem (0, 0).
Observação 2: f(0) representa o cálculo da função no ponto z0 sem derivada.
publicidade
Fisicaexe - Exercícios Resolvidos de Física de Elcio Brandani Mondadori está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial-Compartilha Igual 4.0 Internacional .