Exercício Resolvido de Funções Complexas
publicidade
b) \( \displaystyle (-1)^{i} \)
Usando a expressão
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{u^{v}=\operatorname{e}^{v\;\text{Ln}u}}
\]
\[
\begin{gather}
(-1)^{i}=\operatorname{e}^{i\;\operatorname{Ln}(-1)} \tag{I}
\end{gather}
\]
A função multivalente do logaritmo é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\operatorname{Ln}z=\ln |z|+i(\operatorname{arg}(z)+2k\pi)} \tag{II}
\end{gather}
\]
O argumento do logaritmo é o número complexo da forma
\[
u=-1+0 i
\]
O módulo é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
\]
\[
\begin{gather}
|u|=\sqrt{(-1)^{2}+0^{2}\;}\\
|u|=1 \tag{III}
\end{gather}
\]
O argumento é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\theta=\operatorname{arg}(z)=\operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)}
\]
\[
\begin{align}
\theta &=\operatorname{arg}(u)=\operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)=\\
&=\operatorname{arctg}\left(\frac{0}{-1}\right)=\operatorname{arctg}(0)=\pi\tag{IV}
\end{align}
\]
substituindo os valores (III) e (IV) na expressão (II)
\[
\begin{gather}
\operatorname{Ln}(-1)=\ln (1)+i(\pi +2k\pi)\\
\operatorname{Ln}(-1)=0+i\pi +2k\pi i\\
\operatorname{Ln}(-1)=(2k+1)\pi i \tag{V}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (V) na expressão (I)
\[
\begin{gather}
(-1)^{i}=\operatorname{e}^{i\;\left((2k+1)\pi i\right)}\\[5pt]
(-1)^{i}=\operatorname{e}^{(2k+1)\pi i.i}\\[5pt]
(-1)^{i}=\operatorname{e}^{(2k+1)\pi i^{2}}\\[5pt]
(-1)^{i}=\operatorname{e}^{(2k+1)\pi(-1)}\\[5pt]
(-1)^{i}=\operatorname{e}^{-(2k+1)\pi}
\end{gather}
\]
\[
\qquad \qquad \quad(-1)^{i}=\operatorname{e}^{(2k+1)\pi}\quad ,\quad k\in \mathbb{Z}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{(-1)^{i}=\operatorname{e}^{(2k+1)\pi}}
\]
publicidade
Fisicaexe - Exercícios Resolvidos de Física de Elcio Brandani Mondadori está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial-Compartilha Igual 4.0 Internacional .