Exercício Resolvido de Funções Complexas
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d) \( \operatorname{Arcsenh}z \quad , \quad z_{0}=i \)

Queremos calcular
\[ \begin{gather} w=\operatorname{Arcsenh}z \tag{I} \end{gather} \]
podemos escrever
\[ \begin{gather} \operatorname{senh}w=z \tag{II} \end{gather} \]
O seno hiperbólico é dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\operatorname{senh}w=\frac{\operatorname{e}^{w}-\operatorname{e}^{-w}}{2}} \tag{III} \end{gather} \]
substituindo a expressão (III) na expressão (II)
\[ \begin{gathered} z=\frac{\operatorname{e}^{w}-\operatorname{e}^{-w}}{2}\\ 2z=\operatorname{e}^{w}-\operatorname{e}^{-w} \end{gathered} \]
multiplicando toda a equação por ew
\[ \begin{gathered} \qquad \qquad \quad \operatorname{e}^{w}-\operatorname{e}^{-w}-2z=0\qquad(\times\operatorname{e}^{w})\\ \operatorname{e}^{w}.e^{w}-\operatorname{e}^{-w}.e^{w}-2ze^{w}=0\\ \operatorname{e}^{2w}-2ze^{w}-1=0 \end{gathered} \]
fazendo a mudança de variável
\[ \begin{gather} \lambda =\operatorname{e}^{w}\\[10pt] \lambda^{2}-2z\lambda -1=0 \end{gather} \]
resolvendo a Equação do 2.º Grau
\[ \begin{gathered} \Delta =(-2z)^{2}-4.1.(-1)=4z^{2}+4=4(z^{2}+1)\\ \lambda_{1,2}=\frac{-(-2z)\pm \sqrt{4(z^{2}+1)\;}}{2}=z\pm\sqrt{z^{2}+1\;} \end{gathered} \]
substituindo as raízes da equação na expressão (IV)
\[ \begin{gather} z+\sqrt{z^{2}+1\;}=\operatorname{e}^{w}\\ w=\operatorname{Ln}\left(z+\sqrt{z^{2}+1\;}\right)\\ w=\operatorname{Ln}\left(z+\sqrt{z^{2}+1\;}\right)\\ w=\operatorname{Ln}\left(z+\sqrt{z^{2}+1\;}\right)\\ w=\operatorname{Ln}\left(z+\sqrt{z^{2}+1\;}\right) \tag{V} \end{gather} \]
Observação: Lembrando que os cálculos são válidos para as duas raízes \( z\pm \sqrt{z^{2}+1\;} \).

substituindo as expressão (V) na expressão (I)
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\operatorname{Arcsenh}z=\operatorname{Ln}\left(z+\sqrt{z^{2}+1\;}\right)} \]
Para z0 =i
\[ \begin{gather} \operatorname{Arcsenh}i=\operatorname{Ln}\left(i+\sqrt{i^{2}+1\;}\right)\\ \operatorname{Arcsenh}i=\operatorname{Ln}\left(i+\sqrt{-1+1\;}\right)\\ \operatorname{Arcsenh}i=\operatorname{Ln}(i) \tag{VI} \end{gather} \]
A função multivalente do logaritmo é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\operatorname{Ln}z=\ln |z|+i\;\left(\operatorname{arg}(z)+2k\pi \right)} \tag{VII} \end{gather} \]
O argumento do logaritmo é o número complexo da forma
\[ z=0+i \]
O módulo é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \]
\[ \begin{gather} |z|=\sqrt{0^{2}+1^{2}\;}\\ |z|=1 \tag{VIII} \end{gather} \]
O argumento é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\operatorname{arg}(z)=\operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)} \]
\[ \begin{gather} \operatorname{arg}(z)=\operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)=\operatorname{arctg}\left(\frac{1}{0}\right)=\frac{\pi}{2} \tag{IX} \end{gather} \]
substituindo os valores (VIII) e (IX) na expressão (VII)
\[ \begin{gather} \operatorname{Ln}(i)=\ln |1|+i\left(\frac{\pi }{2}+2k\pi\right)\\ \operatorname{Ln}(i)=i\left(\frac{\pi }{2}+2k\pi \right) \tag{X} \end{gather} \]
substituindo a expressão (X) na expressão (VI)
\[ \operatorname{Arcsenh}i=i\left(\frac{\pi }{2}+2k\pi \right) \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\operatorname{Arcsenh}i=\left(\frac{1}{2}+2k\right)\pi i} \]
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