Exercício Resolvido de Funções Complexas
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b) \( \operatorname{Arcsen}z \quad , \quad z_{0}=i \)
Queremos calcular
\[
\begin{gather}
w=\operatorname{Arcsen}z \tag{I}
\end{gather}
\]
podemos escrever
\[
\begin{gather}
\operatorname{sen}w=z \tag{II}
\end{gather}
\]
O seno é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\operatorname{sen}w=\frac{\operatorname{e}^{iw}-\operatorname{e}^{-iw}}{2i}} \tag{III}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (III) na expressão (II)
\[
\begin{gathered}
z=\frac{\operatorname{e}^{iw}-\operatorname{e}^{-iw}}{2i}\\
2iz=\operatorname{e}^{iw}+\operatorname{e}^{-iw}
\end{gathered}
\]
multiplicando toda a equação por eiw
\[
\begin{gathered}
\qquad \qquad \quad \operatorname{e}^{iw}-\operatorname{e}^{-iw}-2iz=0\qquad(\times\operatorname{e}^{iw})\\
\operatorname{e}^{iw}.e^{iw}-\operatorname{e}^{-iw}.e^{iw}-2ize^{iw}=0\\
\operatorname{e}^{2iw}-2ize^{iw}-1=0
\end{gathered}
\]
fazendo a mudança de variável
\[
\begin{gather}
\lambda =\operatorname{e}^{iw} \tag{IV}\\[10pt]
\lambda^{2}-2iz\lambda -1=0
\end{gather}
\]
resolvendo a Equação do 2.º Grau
\[
\begin{gathered}
\Delta=(-2iz)^{2}-4.1.(-1)=-4z^{2}+4=4(1-z^{2})\\[5pt]
\lambda_{1,2}=\frac{-(-2iz)\pm \sqrt{4(1-z^{2})\;}}{2}=iz\pm\sqrt{1-z^{2}\;}
\end{gathered}
\]
substituindo as raízes da equação na expressão (IV)
\[
\begin{gather}
iz+\sqrt{1-z^{2}\;}=\operatorname{e}^{iw}\\
iw=\operatorname{Ln}\left(iz+\sqrt{1-z^{2}\;}\right)\\
w=\frac{1}{i}\;\operatorname{Ln}\left(iz+\sqrt{1-z^{2}\;}\right).\frac{i}{i}\\
w=\frac{i}{i^{1}}\;\operatorname{Ln}\left(iz+\sqrt{1-z^{2}\;}\right)\\
w=-i\;\operatorname{Ln}\left(iz+\sqrt{1-z^{2}\;}\right) \tag{V}
\end{gather}
\]
Observação: Lembrando que os cálculos são válidos para as duas raízes
\( iz\pm \sqrt{1-z^{2}\;} \).
substituindo as expressão (V) na expressão (I)
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\operatorname{Arcsen}z=-i\;\operatorname{Ln}\left(iz+\sqrt{1-z^{2}\;}\right)}
\]
Para z0 =i
\[
\begin{gather}
\operatorname{Arcsen}i=-i\;\operatorname{Ln}\left(i.i+\sqrt{1-i^{2}\;}\right)\\
\operatorname{Arcsen}i=-i\;\operatorname{Ln}\left(i^{2}+\sqrt{2\;}\right)\\
\operatorname{Arcsen}i=-i\;\operatorname{Ln}\left(-1+\sqrt{2\;}\right) \tag{VI}
\end{gather}
\]
A função multivalente do logaritmo é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\operatorname{Ln}z=\ln |z|+i\;\left(\operatorname{arg}(z)+2k\pi \right)} \tag{VII}
\end{gather}
\]
O argumento do logaritmo é o número complexo da forma
\[
z=\sqrt{2}-1+0 i
\]
O módulo é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
\]
\[
\begin{gather}
|z|=\sqrt{\left(\sqrt{2}-1\right)^{2}+0^{2}\;}\\
|z|=\sqrt{2}-1\tag{VIII}
\end{gather}
\]
O argumento é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\operatorname{arg}(z)=\operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)}
\]
\[
\begin{align}
\operatorname{arg}(z) &=\operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)=\operatorname{arctg}\left(\frac{0}{\sqrt{2\;}-1}\right)=\\
&=\operatorname{arctg}(0)=0\tag{IX}
\end{align}
\]
substituindo os valores (VIII) e (IX) na expressão (VII)
\[
\begin{gather}
\operatorname{Ln}\left(\sqrt{2\;}-1\right)=\ln\left(\sqrt{2\;}-1\right)+i\left(0+2k\pi \right)\\
\operatorname{Ln}\left(\sqrt{2\;}-1\right)=\ln\left(\sqrt{2\;}-1\right)+2k\pi i \tag{X}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (X) na expressão (VI)
\[
\begin{gathered}
\operatorname{Arcsen}i=-i\;\left(\ln (\sqrt{2\;}-1)+2k\pi i\right)\\
\operatorname{Arcsen}i=-i\;\ln \left(\sqrt{2\;}-1\right)+2k\pi i.(-i)\\
\operatorname{Arcsen}i=-i\;\ln \left(\sqrt{2\;}-1\right)+2k\pi(-i^{2})\\
\operatorname{Arcsen}i=-i\;\ln \left(\sqrt{2\;}-1\right)+2k\pi[-(-1)]
\end{gathered}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\operatorname{Arcsen}i=-i\;\ln \left(\sqrt{2\;}-1\right)+2k\pi}
\]
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