Exercício Resolvido de Números Complexos
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b) \( z=1+i\sqrt{3} \)
O módulo é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
\]
\[
\begin{gather}
|z|=\sqrt{1^{2}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}\\
|z|=\sqrt{1+3}\\
|z|=\sqrt{4}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{|z|=2}
\]
O argumento é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\theta=\operatorname{arg}(z)=\operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)}
\]
\[
\begin{gather}
\theta=\operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right)\\
\theta=\operatorname{arctg}\left(\sqrt{3}\right)
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\theta =\frac{\pi}{3}}
\]
Escrevendo z na forma polar
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{z=r(\cos \theta +i\operatorname{sen}\theta )\quad \text{,}\quad r=|z|}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{z=2\;\left(\cos \frac{\pi}{3}+i\operatorname{sen}\frac{\pi}{3}\right)}
\]
Gráfico 1
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