Exercício Resolvido de Números Complexos
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i) \( \left(\dfrac{1+i}{1-i}\right)^{30} \)
Multiplicando o numerador e o denominador pelo complexo conjugado do denominador (\( \overline{z}=1+i \))
\[
\begin{gather}
\left[\frac{1+i}{1-i}.\frac{(1+i)}{(1+i)}\right]^{30}\\
\left[\frac{1.1+1.i+i.1+ i.i}{1.1+1.i-i.1-i.i}\right]^{30}\\
\left[\frac{1+i+i+i^{2}}{1+i-i-i^{2}}\right]^{30}
\end{gather}
\]
sendo
\( i^{2}=-1 \)
\[
\begin{gather}
\left[\frac{1+2i+(-1)}{1-(-1)}\right]^{30}\\
\left[\frac{1+2i-1}{1+1}\right]^{30}\\
\left[\frac{2i}{2}\right]^{30}\\
i^{30}
\end{gather}
\]
Como saber o valor dessa potência sem fazer todas as multiplicações?
Veja que:
Veja que:
\[
\begin{array}{l}
i^{\;0}=1\\
i^{\;1}=i\\
i^{\;2}=-1\\
i^{\;3}=i^{\;2}.i=-1.i=-i
\end{array}
\]
A partir da potência 4 os valores se repetem:
\[
\begin{array}{l}
i^{\;4}=i^{\;2}.i^{\;2}=(-1).(-1)=1\\
i^{\;5}=i^{\;2}.i^{\;3}=(-1).(-i)=i\\
i^{\;6}=i^{\;2}.i^{\;2}.i^{\;2}=(-1).(-1).(-1)=-1\\
i^{\;7}=i^{\;2}.i^{\;2}.i^{\;2}.i=(-1).(-1).(-1).i=-i
\end{array}
\]
Para se encontrar o valor de qualquer potência, basta dividir o expoente por 4 e usar o resto como
expoente da operação, por exemplo:
\( i^{\;19} \),
19 dividido por 4 é igual a 4 e tem resto igual a 3, assim
\( i^{\;19}=i^{\;3}=-i \)
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{i^{30}=i^{2}=-1}
\]
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