f)
\( \displaystyle w=|\;z-1\;|^{2} \)
Escrevendo a função como
\[
\begin{gather}
z-1=x+iy-1\\
z-1=(x-1)+iy
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
w=\left(\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}\;}\right)^{2}\\
w=(x-1)^{2}+y^{2}
\end{gather}
\]
Condição 1: A função w é contínua em todo o plano complexo.
As
Equações de Cauchy-Riemann são dadas por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\begin{gather}
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\[5pt]
\frac{\partial u}{\partial y}=-{\frac{\partial v}{\partial x}}
\end{gather}}
\]
Identificando as funções
u(
x,
y) e
v(
x,
y)
\[
\begin{array}{l}
u(x,y)=(x-1)^{2}+y^{2}\\
v(x,y)=0
\end{array}
\]
Calculando as derivadas parciais
\[
\begin{array}{l}
\dfrac{\partial u}{\partial x}=2(x-1)\\[5pt]
\dfrac{\partial v}{\partial y}=0\\[5pt]
\dfrac{\partial u}{\partial y}=2y\\[5pt]
\dfrac{\partial v}{\partial x}=0
\end{array}
\]
Condição 2: As derivadas são contínuas em todo o plano complexo.
Aplicando as
Equações de Cauchy-Riemann
\[
\begin{gather}
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\
2(x-1)\neq 0
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{\partial u}{\partial y}=-{\frac{\partial v}{\partial x}}\\
2y\neq 0
\end{gather}
\]
Condição 3: A função w não satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann.
A função
w e as derivadas são contínuas, mas a função não satisfaz as
Equações de Cauchy-Riemann, a
função w não é analítica.
As
Equações de Cauchy-Riemann não são satisfeitas, mas se na primeira condição fizermos
\[
\begin{gather}
2(x-1)=0\\
x-1=0\\
x=1
\end{gather}
\]
e na segunda equação
\[
\begin{gather}
2y=0\\
y=0
\end{gather}
\]
a função é diferenciável no ponto
\[
(x,y)=(1,0)
\]
A derivada é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}}
\]
\[
\begin{gather}
f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}\\[5pt]
w'=2(x-1)+2yi
\end{gather}
\]
\[
w'=2(1-1)+2.0i
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{w'=0}
\]
Observação: Se fizéssemos
\[
\begin{gather}
f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}\\[5pt]
w'=0+2yi
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
w'=0
\end{gather}
\]