Exercício Resolvido de Equações de Cauchy-Riemann
publicidade   



e)   \( \displaystyle w=|z| \)

Escrevendo a função como
\[ w=\sqrt{x^{2}+y^{2}\;} \]
Condição 1: A função w é contínua em todo o plano complexo.

As Equações de Cauchy-Riemann são dadas por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\begin{gather} \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\[5pt] \frac{\partial u}{\partial y}=-{\frac{\partial v}{\partial x}} \end{gather}} \]
Identificando as funções u(x, y) e v(x, y)
\[ \begin{array}{l} u(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\\ v(x,y)=0 \end{array} \]
Calculando as derivadas parciais
\[ \begin{array}{l} \dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{1}{2}\dfrac{2x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}\;}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}\;}}\\[5pt] \dfrac{\partial v}{\partial y}=0\\[5pt] \dfrac{\partial u}{\partial y}=\dfrac{1}{2}\dfrac{2y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}\;}}= \dfrac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}\;}}\\[5pt] \dfrac{\partial v}{\partial x}=0 \end{array} \]
Condição 2: As derivadas não são contínuas no ponto z = 0, onde (x, y) = (0, 0).

Aplicando as Equações de Cauchy-Riemann
\[ \begin{gather} \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\ \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}\;}}\neq 0 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \frac{\partial u}{\partial y}=-{\frac{\partial v}{\partial x}}\\ \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}\;}}\neq 0 \end{gather} \]
Condição 3: A função w não satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann.

A função w é contínua, as derivadas não são contínuas e a função não satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann, a função w não é analítica.

As Equações de Cauchy-Riemann não são satisfeitas, mas se na primeira condição fizermos
\[ \begin{gather} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}\;}}=0\\ x=0.\sqrt{x^{2}+y^{2}\;}\\ x=0 \end{gather} \]
e na segunda equação
\[ \begin{gather} \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}\;}}=0\\ y=0.\sqrt{x^{2}+y^{2}\;}\\ y=0 \end{gather} \]
mas não podemor ter (x, y)=(0, 0)

A função w não é diferenciável no plano complexo.
publicidade   

Licença Creative Commons
Fisicaexe - Exercícios Resolvidos de Física de Elcio Brandani Mondadori está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial-Compartilha Igual 4.0 Internacional .