Exercício Resolvido de Equações de Cauchy-Riemann
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c)   \( \displaystyle w=z\;\text{Im}\;z \)

Escrevendo a função como
\[ \begin{gather} w=(x+iy)\text{Im}(x+iy)\\ w=(x+iy)y\\ w=xy+iy^{2} \end{gather} \]
Condição 1: A função w é contínua em todo o plano complexo.

As Equações de Cauchy-Riemann são dadas por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\begin{gather} \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\[5pt] \frac{\partial u}{\partial y}=-{\frac{\partial v}{\partial x}} \end{gather}} \]
Identificando as funções u(x, y) e v(x, y)
\[ \begin{array}{l} u(x,y)=xy\\ v(x,y)=y^{2} \end{array} \]
Calculando as derivadas parciais
\[ \begin{array}{l} \dfrac{\partial u}{\partial x}=y\\[5pt] \dfrac{\partial v}{\partial y}=2y\\[5pt] \dfrac{\partial u}{\partial y}=x\\[5pt] \dfrac{\partial v}{\partial x}=0 \end{array} \]
Condição 2: As derivadas são contínuas em todo o plano complexo.

Aplicando as Equações de Cauchy-Riemann
\[ \begin{gather} \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\ y\neq 2y \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \frac{\partial u}{\partial y}=-{\frac{\partial v}{\partial x}}\\ x=0 \end{gather} \]
Condição 3: A função w não satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann.

A função w e as derivadas são contínuas, mas a função não satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann, a função w não é analítica.

As Equações de Cauchy-Riemann não são satisfeitas, mas se na primeira condição fizermos
\[ \begin{gather} y=2y\\ 2y-y=0\\ y=0 \end{gather} \]
a função é diferenciável no ponto
\[ (x,y)=(0,0) \]
A derivada é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}} \]
\[ \begin{gather} f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}\\[5pt] w'=y+i0\\ w'=y \end{gather} \]
  • Para y = 0
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {w'=0} \]

Observação: Se fizéssemos
\[ \begin{gather} f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}\\[5pt] w'=2y+ix \end{gather} \]
  • Para (x, y)=(0, 0)
\[ \begin{gather} w'=2.0+i0\\ w'=0 \end{gather} \]
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