Exercício Resolvido de Equações de Cauchy-Riemann
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a) \( \displaystyle w=\bar{z} \)
Escrevendo a função como
\[
w=\bar{z}=x-iy
\]
Condição 1: A função w é contínua em todo o plano complexo.
As Equações de Cauchy-Riemann são dadas por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\begin{gather}
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\[5pt]
\frac{\partial u}{\partial y}=-{\frac{\partial v}{\partial x}}
\end{gather}}
\]
Identificando as funções u(x, y) e v(x, y)
\[
\begin{array}{l}
u(x,y)=x\\
v(x,y)=-y
\end{array}
\]
Calculando as derivadas parciais
\[
\begin{array}{l}
\dfrac{\partial u}{\partial x}=1\\[5pt]
\dfrac{\partial v}{\partial y}=-1\\[5pt]
\dfrac{\partial u}{\partial y}=0\\[5pt]
\dfrac{\partial v}{\partial x}=0
\end{array}
\]
Condição 2: As derivadas são contínuas em todo o plano complexo.
Aplicando as Equações de Cauchy-Riemann
\[
\begin{gather}
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\
1\neq -1
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{\partial u}{\partial y}=-{\frac{\partial v}{\partial x}}\\
0=0
\end{gather}
\]
Condição 3: A função w não satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann.
A função w e as derivadas são contínuas, mas a função não satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann, a função w não é analítica e não é diferenciável no plano complexo .
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