Exercício Resolvido de Fótons
publicidade   



Radiação de comprimento de onda 2000 Å incide sobre uma superfície de alumínio. Para o alumínio, são necessários 4,2 eV para remover um elétron. Qual é a energia cinética do fotoelétron emitido
a) Mais rápido;
b) Mais lento;
c) Qual é o potencial de corte?
d) Qual é o comprimento de onda limite para o alumínio?
e) Se a intensidade da luz incidente é 2,0 W/m2, qual é o número médio de fótons por unidade de tempo e por unidade de área que atinge a superfície?
f) Se a intensidade da luz incidente é dobrada, qual será o valor da energia máxima dos elétrons removidos?
Dados: velocidade da luz, c = 2,998.108 m/s, constante de Planck, h = 6,626.10−34 J.s, e 1 eV = 1,602.10−19 J.


Dado do problema:
  • Função trabalho do alumínio:    ϕ = 4,2 eV;
  • Comprimento de onda da radiação incidente:    λ = 2000 Å;
  • Intensidade da luz incidente:    I= 2,0 W/m2;
  • Velocidade da luz:    c = 2,998.108 m/s;
  • Constante de Planck:    h = 6,626.10−34 J.s;
  • Elétron-volt:    1 eV = 1,602.10−19 J.

Solução

Em primeiro lugar vamos converter o comprimento de onda dado em angstrons (Å) para metros (m) e a função trabalho dada em elétron-volts (eV) para joules (J) usados no Sistema Internacional (S.I.)
\[ \begin{gather} \lambda=2000\;\cancel{\mathrm{\mathring{A}}}.\frac{1.10^{-10}\;\text{m}}{1\;\cancel{\mathrm{\mathring{A}}}}=2.10^{3}.10^{-10}\;\text{m}=2,0.10^{-7}\;\text{m}\\[10pt] \phi=4,2\;\cancel{\text{eV}}.\frac{1,602.10^{-19}\;\text{J}}{1\;\cancel{\text{eV}}}=6,7.10^{-19}\;\text{J} \end{gather} \]

a) A energia cinética (K) com que um fotoelétron é emitido é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {K=h \nu-\phi} \tag{I} \end{gather} \]
A relação entre a frequência e o comprimento de onda é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {c=\lambda\nu} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \nu=\frac{c}{\lambda} \tag{II} \end{gather} \]
substituindo a relação (II) na equação (I)
\[ \begin{gather} K_{max}=h\frac{c}{\lambda}-\phi \tag{III} \end{gather} \]
substituindo os dados do problema, a energia cinética do elétron mais rápido será
\[ \begin{gather} K_{max}=6,626.10^{-34}.\frac{2,998.10^{8}}{2,0.10^{-7}}-6,7.10^{-19}\\[5pt] K_{max}=9,9.10^{-19}-6,7.10^{-19}\\[5pt]K_{max}=3,2.10^{-19}\;\text{J} \end{gather} \]
convertendo esta energia para elétron-volts
\[ \begin{gather} K_{max}=3,2.10^{-19}\;\cancel{\text{J}}.\frac{1\;\text{eV}}{1,602.10^{-19}\;\cancel{\text{J}}}=2,0\;\text{eV} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {K_{max}=2,0\;\text{eV}} \end{gather} \]
b) Os elétrons são removidos com uma distribuição de energias que vão de zero até a energia máxima (Kmax), a energia cinética do elétron mais lento será
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {K_{max}=0} \end{gather} \]

c) A energia cinética máxima em função da carga do elétron (e) e da diferença de potencial (V0) a que os elétrons estão submetidos
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {K_{max}=eV_{0}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} V_{0}=\frac{K_{max}}{e}\\[5pt] V_{0}=\frac{2,0}{1} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {V_{0}=2,0\;\text{V}} \end{gather} \]

d) O comprimento de onda de corte ocorre quando a energia cinética é igual à zero (K = 0), usando a equação (III)
\[ \begin{gather} K=h\frac{c}{\lambda}-\phi\\[5pt] 0=6,62.10^{-34}.\frac{2,998.10^{8}}{\lambda}-6,7.10^{-19}\\[5pt] \frac{1,4.10^{-24}}{\lambda}=6,7.10^{-19}\\[5pt] \lambda=\frac{1,4.10^{-24}}{6,7.10^{-19}}\\[5pt] \lambda=2,957.10^{-7}\;\text{m} \end{gather} \]
convertendo este comprimento de onda para angstrons
\[ \begin{gather} \lambda=2,957.10^{-7}\;\cancel{\text{m}}.\frac{1\;\mathrm{\mathring{A}}}{1.10^{-10}\;\cancel{\text{m}}}=2,957.10^{-7}.1.10^{10}\;\mathrm{\mathring{A}}=2957\;\mathrm{\mathring{A}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\lambda=2957\;\mathrm{\mathring{A}}} \end{gather} \]

e) A energia de um fóton é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E=h \nu} \tag{IV} \end{gather} \]
substituindo a relação (II) na equação (IV)
\[ \begin{gather} E=h\frac{c}{\lambda}\\[5pt] E=6,62.10^{-34}.\frac{2,998.10^{8}}{2.10^{-7}}\\[5pt] E\approx1,0.10^{-18}\;\frac{\text{J}}{\text{fóton}} \end{gather} \]
A intensidade (I) da luz incidente é dada pela potência (\(\mathscr{P}\)) por unidade de área (A)
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {I=\frac{\mathscr{P}}{A}} \tag{V} \end{gather} \]
A potência (\( \mathscr{P} \)) é dada pela energia (E) por unidade de tempo (Δt)
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\mathscr{P}=\frac{E}{\Delta t}} \tag{VI} \end{gather} \]
substituindo a equação (VI) na equação (V)
\[ \begin{gather} I=\frac{E}{\Delta t A} \end{gather} \]
O número de fótons (n) é obtido dividindo a intensidade da luz pela energia do fóton
\[ \begin{gather} n=\frac{I}{E}\\[5pt] n=\frac{2,0\;\frac{\cancel{\text{J}}}{\text{s.m}^{2}}}{1,0.10^{-18}\;\frac{\;\cancel{\text{J}}}{\text{fótons}}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {n=2,0.10^{18}\;\frac{\text{fótons}}{\text{s.m}^{2}}} \end{gather} \]

f) A energia máxima dos elétrons permanecerá mesma, a energia depende da frequência da luz incidente (equação IV), e não da intensidade.
publicidade   

Licença Creative Commons
Fisicaexe - Exercícios Resolvidos de Física de Elcio Brandani Mondadori está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial-Compartilha Igual 4.0 Internacional .