Exercício Resolvido de Centro de Massa e Quantidade de Movimento
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Um bloco de massa m = 25 kg está em movimento uniforme, com velocidade v = 5 m//s, quando começa a sofrer a ação de uma força dada, em módulo, por:
\[
F=t+\frac{3}{2}t^{2}
\]
Nestas condições determine:a) O impulso nos primeiros 5 segundos após a força começar a atuar;
b) A força média que atua no bloco durante este tempo;
c) A velocidade do bloco no instante t = 5 s.
Dados do problema:
- Massa do bloco: m = 25 kg;
- Velocidade inicial do bloco: vi = 5 m//s.
Figura 1
Solução
a) O impulso é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{I=\int F\;dt}
\]
calculando no intervalo de tempo de 0 a 5 segundos
\[
\begin{gather}
I=\int_{0}^{5}\left(t+\frac{3}{2}t^{2}\right)\;dt\\
I=\int_{0}^{5}t\;dt+\int_{0}^{5}{\frac{3}{2}}t^{2}\;dt\\
I=\int_{0}^{5}t\;dt+\frac{3}{2}\int_{0}^{5}t^{2}\;dt
\end{gather}
\]
Integral de \( \displaystyle \int _{0}^{5}t\;dt \)
\[
\int _{0}^{5}t\;dt\Rightarrow\left.\frac{t^{1+1}}{1+1}\;\right|_{\;0}^{\;5}\Rightarrow\left.\frac{t^{2}}{2}\;\right|_{\;0}^{\;5}\Rightarrow\frac{1}{2}\left(5^{2}-0^{2}\right)\Rightarrow \frac{25}{2}
\]
Integral de \( \displaystyle \int _{0}^{5}t^{2}\;dt \)
\[
\int _{0}^{5}t^{2}\;dt\Rightarrow\left.\frac{t^{2+1}}{2+1}\;\right|_{\;0}^{\;5}\Rightarrow\left.\frac{t^{3}}{3}\;\right|_{\;0}^{\;5}\Rightarrow\frac{1}{3}\left(5^{3}-0^{3}\right)\Rightarrow \frac{125}{3}
\]
\[
\begin{gather}
I=\frac{25}{2}+\frac{\cancel{3}}{2}.\frac{125}{\cancel{3}}\\
I=\frac{25}{2}+\frac{125}{2}\\
I=\frac{150}{2}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{I=75\;\text{N.s}}
\]
b) A força média é calculada pela expressão
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\langle F\rangle =\frac{1}{T}\int F\;dt}
\]
A integral a ser calculada no período T entre 0 e 5 segundos é exatamente o impulso calculado no item
anterior
\[
\begin{gather}
\langle F\rangle =\frac{1}{T}I\\
\langle F\rangle=\frac{1}{5}.75
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\langle F\rangle =15\;\text{N}}
\]
c) O impulso é igual a variação da quantidade de movimento
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{I=\Delta Q=mv_{f}-mv_{i}}
\]
\[
\begin{gather}
I=m(v_{f}-v_{i})\\
v_{f}-v_{i}=\frac{I}{m}\\
v_{f}=\frac{I}{m}+v_{i}
\end{gather}
\]
substituindo os dados
\[
\begin{gather}
v_{f}=\frac{75}{25}+5\\
v_{f}=3+5
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{v_{f}=8\;\text{m/s}}
\]
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