Exercício Resolvido de Oscilações Harmônicas
Português
English
publicidade
Um bloco de massa m = 0,25 kg é ligado a uma mola de constante elástica k = 1 N/m. O bloco
é deslocado de sua posição de equilíbrio O até um ponto P a 0,5 m e solto a partir do repouso.
Determine:
a) A equação do movimento;
b) A velocidade do corpo;
c) Calcule a energia mecânica do oscilador;
d) O gráfico da posição x em função do tempo t.
a) A equação do movimento;
b) A velocidade do corpo;
c) Calcule a energia mecânica do oscilador;
d) O gráfico da posição x em função do tempo t.
Dados do problema:
- Massa do corpo: m = 0,25 kg;
- Constante elástica da mola: k = 1 N/m;
- Posição inicial (t = 0): x0 = 0,5 m;
- Velocidade inicial (t = 0): v0 = 0.
Adotamos um sistema de referência com sentido positivo para a direita. O bloco é deslocado até a posição
x0 = 0,5 m e com velocidade inicial nula, v0 = 0. Quando o bloco é
solto a força elástica da mola fará com que retorne à posição de equilíbrio, a velocidade estará
apontando na direção contrária do referencial e aumentando em módulo no sentido da posição de
equilíbrio (Figura 1). Com isto escrevemos as Condições Iniciais do problema:
\[
\begin{array}{l}
x(0)=0,5\;\text{m}\\[10pt]
v_{0}=\dfrac{dx(0)}{dt}=0
\end{array}
\]
Solução
a) Aplicando a 2.ª Lei de Newton
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{F=m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}} \tag{I}
\end{gather}
\]
a única força que atua no bloco é a força elástica da mola,
\( {\vec{F}}_{E} \),
dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{F_{E}=-kx} \tag{II}
\end{gather}
\]
o sinal de negativo na força elástica indica que ela atua contra o sentido do deslocamento do bloco (atua
no sentido de restabelecer o equilíbrio). Substituindo a expressão (II) na expressão (I)
\[
\begin{gather}
-kx=m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}\\[5pt]
m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+kx=0
\end{gather}
\]
esta é uma Equação Diferencial Ordinária Homogênea de 2.ª Ordem. Dividindo toda a equação pela
massa m
\[
\begin{gather}
\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{k}{m}x=0
\end{gather}
\]
substituindo os valores dados no problema
\[
\begin{gather}
\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{1}{0,25}x=0\\[5pt]
\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+4x=0 \tag{III}
\end{gather}
\]
Solução de \( \displaystyle \frac{d^{2}x}{dt^{2}}+4x=0 \)
A solução deste tipo de equação é encontrada fazendo-se as substituições
Derivando a expressão (IV) em relação ao tempo, a função x(t) é uma função composta, usando a Regra da Cadeia
A solução deste tipo de equação é encontrada fazendo-se as substituições
\[
\begin{array}{l}
x=\operatorname{e}^{\lambda t}\\[10pt]
\dfrac{dx}{dt}=\lambda\operatorname{e}^{\lambda t}\\[10pt]
\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}=\lambda^{2}\operatorname{e}^{\lambda t}
\end{array}
\]
substituindo estes valores na equação diferencial
\[
\begin{gather}
\lambda ^{2}\operatorname{e}^{\lambda t}+4\operatorname{e}^{\lambda t}=0\\[5pt]
\operatorname{e}^{\lambda t}\left(\lambda^{2}+4\right)=0\\[5pt]
\lambda^{2}+4=\frac{0}{\operatorname{e}^{\lambda t}}\\[5pt]
\lambda ^{2}+4=0
\end{gather}
\]
esta é a Equação Característica que tem como solução
\[
\begin{gather}
\Delta =b^{2}-4ac=0^{2}-4.1.4=0-18=-16
\end{gather}
\]
para Δ < 0 as raízes são complexas da forma a+bi, onde
\( \operatorname{i}=\sqrt{-1\;} \)
\[
\begin{gather}
\lambda^{2}=-4\\[5pt]
\lambda =\sqrt{-4\;}\\[5pt]
\lambda_{1}=2\operatorname{i}\qquad \mathrm{ou} \qquad \lambda_{2}=-2\operatorname{i}
\end{gather}
\]
A solução da equação diferencial será
\[
\begin{gather}
x=C_{1}\operatorname{e}^{\lambda_{1}t}+C_{2}\operatorname{e}^{\lambda_{2}t}\\[5pt]
x=C_{1}\operatorname{e}^{2\operatorname{i}t}+C_{2}\operatorname{e}^{-2\operatorname{i}t}
\end{gather}
\]
onde C1 e C2 são constantes de integração, usando a
Fórmula de Euler
\( \operatorname{e}^{i\theta}=\cos \theta +\operatorname{i}\operatorname {sen}\theta \)
\[
\begin{gather}
x=C_{1}\left(\cos 2t+\operatorname{i}\operatorname {sen}2t\right)+C_{2}\left(\cos 2t-\operatorname{i}\operatorname{sen}2t\right)\\[5pt]
x=C_{1}\cos 2t+\operatorname{i}C_{1}\operatorname{sen}2t+C_{2}\cos 2t-\operatorname{i}C_{2}\operatorname{sen}2t\\[5pt]
x=\left(C_{1}+C_{2}\right)\cos 2t+\operatorname{i}\left(C_{1}-C_{2}\right)\operatorname{sen}2t
\end{gather}
\]
definindo duas novas constantes α e β em termos de C1 e
C2
\[
\begin{gather}
\alpha \equiv C_{1}+C_{2}\\
\text{e}\\
\beta \equiv \operatorname{i}(C_{1}-C_{2})
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
x=\alpha \cos 2t+\beta \operatorname{sen}2t
\end{gather}
\]
multiplicando e dividindo esta expressão por
\( \sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;} \)
\[
\begin{gather}
x=\left(\alpha \cos 2t+\beta\operatorname{sen}2t\right)\frac{\sqrt{\alpha^{2}+\beta ^{2}}}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;}}\\[5pt]
x=\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;}\left(\frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;}}\cos 2t+\frac{\beta }{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;}}\operatorname{sen}2t\right)
\end{gather}
\]
fazendo as seguintes definições
\[
\begin{array}{l}
A\equiv \sqrt{\alpha ^{2}+\beta^{2}\;}\\[10pt]
\cos \varphi \equiv \dfrac{\alpha}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;}}\\[10pt]
\operatorname{sen}\varphi \equiv \dfrac{\beta}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;}}
\end{array}
\]
\[
\begin{gather}
x=A(\cos \varphi \cos 2t+\operatorname{sen}\varphi \operatorname{sen}2t)
\end{gather}
\]
Lembrando da identidade trigonométrica
\( cos(a-b)=\cos a\cos b+\operatorname{sen}a\operatorname{sen}b \)
\[ cos(a-b)=\cos a\cos b+\operatorname{sen}a\operatorname{sen}b \]
\[
\begin{gather}
x=A\cos (2t-\varphi) \tag{IV}
\end{gather}
\]
onde A e φ são constantes de integração determinadas pelas
Condições Iniciais.Derivando a expressão (IV) em relação ao tempo, a função x(t) é uma função composta, usando a Regra da Cadeia
\[
\begin{gather}
\frac{dx[v(t)]}{dt}=\frac{dx}{dv}\frac{dv}{dt}
\end{gather}
\]
com
\( x(v)=A\cos v \)
e
\( v(t)=(2t-\varphi) \)
\[
\begin{gather}
\frac{dx}{dt}=\frac{dx}{dv}\frac{dv}{dt}\\[5pt]
\frac{dx}{dt}=\frac{d(A\cos v)}{dv}\frac{d(2t-\varphi)}{dt}\\[5pt]
\frac{dx}{dt}=A(-\operatorname{sen} v)(2)\\[5pt]
\frac{dx}{dt}=-2 A\operatorname{sen} (2t-\varphi) \tag{V}
\end{gather}
\]
Substituindo as Condições Iniciais nas expressões (IV) e (V)
\[
\begin{gather}
x(0)=0,5=A\cos (2.0-\varphi)\\[5pt]
0,5=A\cos (-\varphi)
\end{gather}
\]
como o cosseno é uma função par temos
\( \cos \varphi=\cos (-\varphi) \)
\[
\begin{gather}
0,5=A\cos \varphi \tag{VI}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{dx(0)}{dt}=0=-2A\operatorname{sen}(2.0-\varphi)\\[5pt]
0=-2A\operatorname{sen}(-\varphi)
\end{gather}
\]
como o seno é uma função ímpar
\( \operatorname{sen}\varphi=-\operatorname{sen}(-\varphi) \)
\[
\begin{gather}
0=2A\operatorname{sen}\varphi \tag{VII}
\end{gather}
\]
isolando o valor de A na expressão (VI)
\[
\begin{gather}
A=\frac{0,5}{\cos \varphi} \tag{VIII}
\end{gather}
\]
e substituindo na expressão (VII)
\[
\begin{gather}
0=2.\frac{0,5}{\cos \varphi}.\operatorname{sen}\varphi\\[5pt]
0=\operatorname{tg}\varphi\\[5pt]
\varphi=\operatorname{arc tg}(0)\\[5pt]
\varphi=0
\end{gather}
\]
substituindo o valor de φ na expressão (VIII)
\[
\begin{gather}
A=\frac{0,5}{\cos 0}\\[5pt]
A=\frac{0,5}{1}\\[5pt]
A=0,5
\end{gather}
\]
substituindo as constantes A e φ na expressão (IV)
\[
\begin{gather}
x(t)=0,5\cos 2t
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{x(t)=0,5\cos 2t}
\end{gather}
\]
b) A velocidade é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v=\frac{dx}{dt}}
\end{gather}
\]
a derivada é dada pela expressão (V), substituindo as constantes obtidas acima
\[
\begin{gather}
v(t)=-2.0,5\operatorname{sen}(2t-0)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{v(t)=-\operatorname{sen}2t}
\end{gather}
\]
c) A energia mecânica de um oscilador harmônico livre é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E=\frac{1}{2}kA^{2}}
\end{gather}
\]
substituindo a constante elástica dada no problema e a amplitude calculada no item anterior
\[
\begin{gather}
E=\frac{1}{2}.1.0.5^{2}\\[5pt]
E=\frac{1}{2}.0.25
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{E=0.125\;\text{J}}
\end{gather}
\]
d) Construção do gráfico de
\[
\begin{gather}
x(t)=0,5\cos 2t \tag{IX}
\end{gather}
\]
Fazendo x(t) = 0 na expressão (IX)) encontramos as raízes da função
\[
\begin{gather}
x(t)=0,5\cos 2t=0\\[5pt]
\cos 2t=\frac{0}{0,5}\\[5pt]
\cos 2t=0
\end{gather}
\]
a função cosseno é zero quando seu argumento (2t) é igual a
\( \dfrac{\pi}{2} \),
\( \dfrac{3\pi}{2} \),
\( \dfrac{5\pi}{2} \),...,
\( \dfrac{(2n+1)\pi}{2} \),
com n = 0, 1, 2, 3,..., portanto devemos ter
\[
\begin{gather}
2t=\frac{(2n+1)\pi}{2}\\[5pt]
t=\frac{(2n+1)\pi}{2.2}\\[5pt]
t=\frac{(2n+1)\pi}{4}
\end{gather}
\]
Para esses valores de t temos as raízes da função cosseno, os quatro primeiros valores serão, para n = 0, 1, 2 e 3, respectivamente, t = \( \dfrac{\pi}{4} \), \( \dfrac{3\pi}{4} \), \( \dfrac{5\pi}{4} \), \( \dfrac{7\pi}{4} \). estes valores estão mostrados no Gráfico 1.
A função oscila entre os valores +0,5 e −0,5 da amplitude.
publicidade
Fisicaexe - Exercícios Resolvidos de Física de Elcio Brandani Mondadori está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial-Compartilha Igual 4.0 Internacional .