Exercício Resolvido de Oscilações
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Um corpo de massa m se encontra apoiado sobre um suporte de madeira. O suporte começa a oscilar com um movimento harmônico simples, aumentando a frequência das oscilações até fazer com que o corpo comece a deslizar sobre a madeira.
a) Calcule o coeficiente de atrito entre o corpo e a madeira em função do período T e da amplitude A das oscilações;
b) Para o período T = 3 s e a amplitude A = 0,4 m qual é o coeficiente de atrito?


Dados do problema:
  • Massa do corpo:    m;
  • Período das oscilações:    T;
  • Amplitude das oscilações:    A.
Esquema do problema:

As forças que atuam no sistema são a força peso \( \vec{P} \), a força de reação normal \( \vec{N} \), a força de atrito \( {\vec{F}}_{at} \) e a força externa \( \vec{F} \) (Figura 1).
Figura 1

O sistema esta inicialmente em repouso em relação a uma posição O (Figura 2-A).
Uma força oscilante começa a atuar no suporte de madeira empurrando-o para frente e para trás. O corpo sobre o suporte permanece na mesma posição em relação ao suporte, mas não em relação à posição O, ele se desloca junto com o suporte (Figuras 2-B, 2-C e 2-D).
A força externa \( \vec{F} \) vai aumentando e enquanto ela for menor que a força de atrito \( {\vec{F}}_{at} \) o corpo permanece na mesma posição sobre o suporte (Figuras 2-B, 2-C e 2-D).
Essa situação continua até que a força externa seja maior que a força de atrito. Nesse momento o suporte se desloca por baixo do corpo e a força de atrito não é suficiente para fazer o corpo permanecer na mesma posição sobre o suporte (Figura 2-E).
Figura 2

Solução

a) Aplicando a 2.ª Lei de Newton
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec{F}=m\vec{a}} \tag{I} \end{gather} \]
  • Direção x:
Temos a força externa \( \vec{F} \) de oscilação e a força de atrito \( {\vec{F}}_{at} \), enquanto a força externa for menor que a força de atrito o corpo permanece em repouso em relação ao suporte de madeira. No movimento harmônico simples a aceleração é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {a=-\omega ^{2}A\cos \omega t} \end{gather} \]
a aceleração é máxima quando   \( \cos \omega t=1 \), em módulo
\[ \begin{gather} a_{max}=\omega ^{2}A \tag{II} \end{gather} \]
Substituindo a expressão (II) na expressão (I), a força externa máxima será
\[ \begin{gather} F=m\omega ^{2}A \tag{III} \end{gather} \]
A frequência das oscilações é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\omega =\frac{2\pi}{T}} \tag{IV} \end{gather} \]
substituindo a expressão (IV) na expressão (III)
\[ \begin{gather} F=mA\left(\frac{2\pi}{T}\right)^{2} \tag{V} \end{gather} \]
A força de atrito é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {F_{at}=\mu N} \tag{VI} \end{gather} \]
  • Direção y:
Temos a força peso \( \vec{P} \) e a força normal de reação \( \vec{N} \), como não existe movimento nessa direção a duas forças se anulam
\[ \begin{gather} P=N \tag{VII} \end{gather} \]
a força peso é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \tag{VIII} \end{gather} \]
substituindo a expressão (VIII) na expressão (VII)
\[ \begin{gather} N=mg \tag{IX} \end{gather} \]
Substituindo a expressão (IX) na expressão (VI)
\[ \begin{gather} F_{at}=\mu mg \tag{X} \end{gather} \]
Igualando as expressões (V) e (X)
\[ \begin{gather} \mu \cancel{m}g=\cancel{m}A\left(\frac{2\pi}{T}\right)^{2} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\mu =\frac{A}{g}\left(\frac{2\pi}{T}\right)^{2}} \end{gather} \]

b) Para T = 3 s e A = 0,4 m, e adotando π =3,14 e g = 9,81 m/s2
\[ \begin{gather} \mu =\frac{0,4}{9,81}.\left(\frac{2.3,14}{3}\right)^{2} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\mu =0,1} \end{gather} \]
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