Exercício Resolvido de Oscilações
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Um corpo, de massa m, está suspenso por um fio, de constante de torção κ, preso
ao teto. O corpo é deslocado de um ângulo θ0 e liberado a partir do repouso.
Determine:
a) A equação diferencial do movimento;
b) A solução da equação para o pêndulo de torção e a frequência angular das oscilações;
c) O período das oscilações.
a) A equação diferencial do movimento;
b) A solução da equação para o pêndulo de torção e a frequência angular das oscilações;
c) O período das oscilações.
Dados do problema:
- Massa do corpo: m;
- Constante de torção do fio: κ.
Adotamos um sistema de referência com sentido positivo no sentido contrarrelógio. O disco é deslocado e
solto, o torque no fio fará com que retorne à posição de equilíbrio, a velocidade angular estará
apontando no sentido contrário do referencial e aumentando em módulo no sentido da posição de equilíbrio
(Figura 1). Com isto escrevemos as Condições Iniciais do problema
\[
\begin{array}{l}
\theta (0)=\theta_{0}\\[10pt]
\Omega_{0}=\dfrac{d\theta (0)}{dt}=0
\end{array}
\]
Observação: Para a velocidade angular foi usado o símbolo Ω para não confundir
com ω usado para frequência angular das oscilações.
Solução
a) Aplicando a 2.ª Lei de Newton para o movimento de rotação
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{N=I\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}} \tag{I}
\end{gather}
\]
a única força que atua no corpo é o torque no fio
\( \vec N \)
dado, em módulo, por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{N=-\kappa \theta} \tag{II}
\end{gather}
\]
o sinal de negativo no torque representa que ele atua contra o sentido do deslocamento do disco (atua no
sentido de restabelecer o equilíbrio). Substituindo a expressão de (II) em (I)
\[
\begin{gather}
-\kappa \theta =I\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}\\[5pt]
I\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}+\kappa \theta =0
\end{gather}
\]
esta é uma Equação Diferencial Ordinária Homogênea de 2.ª Ordem. Dividindo toda a equação pelo
momento de inércia I
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}+\frac{\kappa}{I}\theta =0}
\end{gather}
\]
b) Na equação do item anterior vamos fazer a seguinte definição
\[
\begin{gather}
\omega_{0}^{2}\equiv \frac{\kappa}{I}
\end{gather}
\]
onde ω0 é a frequência angular
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\omega_{0}=\sqrt{\frac{\kappa}{I}\;}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}+\omega_{0}^{2}\theta =0 \tag{III}
\end{gather}
\]
Solução de \( \displaystyle \frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}+\omega_{0}^{2}\theta =0 \)
A solução deste tipo de equação é encontrada fazendo-se as substituições
A solução da equação diferencial será
A solução deste tipo de equação é encontrada fazendo-se as substituições
\[
\begin{gather}
\theta =\operatorname{e}^{\lambda t}\hfill\\[5pt]
\frac{d\theta}{dt}=\lambda \operatorname{e}^{\lambda t}\\[5pt]
\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}=\lambda^{2}\operatorname{e}^{\lambda t}
\end{gather}
\]
substituindo estes valores na equação diferencial
\[
\begin{gather}
\lambda^{2}\operatorname{e}^{\lambda t}+\omega_{0}^{2}\operatorname{e}^{\lambda t}=0\\[5pt]
\operatorname{e}^{\lambda t}\left(\lambda^{2}+\omega_{0}^{2}\right)=0\\[5pt]
\lambda^{2}+\omega_{0}^{2}=\frac{0}{\operatorname{e}^{\lambda t}}\\[5pt]
\lambda^{2}+\omega_{0}^{2}=0
\end{gather}
\]
esta é a Equação Característica que tem como solução
\[
\begin{gather}
\Delta =b^{2}-4ac=0^{2}-4.1.\omega_{0}^{2}=-4\omega_{0}^{2}\\[5pt]
\lambda_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta\;}}{2a}=\frac{-0+\sqrt{-4\omega_{0}^{2}\;}}{2.1}=\frac{\sqrt{4\omega_{0}^{2}\;}\sqrt{-1\;}}{2}=2\omega_{0}\mathrm{i}\\[5pt]
\lambda_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta \;}}{2a}=\frac{-0-\sqrt{-4\omega_{0}^{2}\;}}{2.1}=\frac{-\sqrt{4\omega_{0}^{2}\;}\sqrt{-1\;}}{2}=-2\omega _{0}\mathrm{i}
\end{gather}
\]
onde \( \mathsf{i}=\sqrt{-1\;} \).A solução da equação diferencial será
\[
\begin{gather}
\theta =C_{1}\operatorname{e}^{\lambda_{1}t}+C_{2}\operatorname{e}^{\lambda_{2}t}\\[5pt]
\theta=C_{1}\operatorname{e}^{2\omega_{0}\mathrm{i}t}+C_{2}\operatorname{e}^{-2\omega_{0}\mathrm{i}t}
\end{gather}
\]
onde C1 e C2 são constantes de integração, usando a
Fórmula de Euler
\( \operatorname{e}^{\mathrm{i}\theta}=\cos \theta+\mathrm{i}\operatorname{sen}\theta \)
\[
\begin{gather}
\theta =C_{1}\left(\cos 2\omega_{0}t+\mathrm{i}\operatorname{sen}2\omega_{0}t\right)+C_{2}\left(\cos2\omega_{0}t-\mathrm{i}\operatorname{sen}2\omega_{0}t\right)\\[5pt]
\theta=C_{1}\cos 2\omega_{0}t+\mathrm{i}C_{1}\operatorname{sen}2\omega_{0}t+C_{2}\cos 2\omega_{0}t-\mathrm{i}C_{2}\operatorname{sen}2\omega_{0}t\\[5pt]
\theta =\left(C_{1}+C_{2}\right)\cos 2\omega_{0}t+\mathrm{i}\left(C_{1}-C_{2}\right)\operatorname{sen}2\omega_{0}t
\end{gather}
\]
definindo duas novas constantes α e β em termos de C1 e
C2
\[
\begin{gather}
\alpha \equiv C_{1}+C_{2}\\[5pt]
\text{e}\\[5pt]
\beta \equiv\mathrm{i}(C_{1}-C_{2})
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\theta =\alpha \cos \omega_{0}t+\beta \operatorname{sen}\omega_{0}t \tag{IV}
\end{gather}
\]
Derivando a expressão (IV) em relação ao tempo, a função θ(t) é a soma de duas
funções, a derivada da soma é dada pela soma das derivadas
\[
\begin{gather}
(f+g)'=f'+g'
\end{gather}
\]
e as funções seno e cosseno são funções compostas, usando a Regra da Cadeia
\[
\begin{gather}
\frac{df[w(t)]}{dt}=\frac{df}{dw}\frac{dw}{dt}
\end{gather}
\]
com
\( f=\alpha \cos w \),
\( g=\beta \operatorname{sen}w \)
e
\( w=\omega_{0}t \)
\[
\begin{gather}
\frac{d\theta}{dt}=\frac{df}{dt}+\frac{dg}{dt}\\[5pt]
\frac{d\theta}{dt}=\frac{df}{dw}\frac{dw}{dt}+\frac{dg}{dw}\frac{dw}{dt}\\[5pt]
\frac{d\theta}{dt}=\frac{d\left(\alpha\cos w\right)}{dw}\frac{d\left(\omega_{0}t\right)}{dt}+\frac{d\left(\beta\operatorname{sen}w\right)}{dw}\frac{d\left(\omega_{0}t\right)}{dt}\\[5pt]
\frac{d\theta}{dt}=\left(-\alpha\operatorname{sen}w\right)(\omega_{0})+\left(\beta \cos w\right)(\omega_{0})\\[5pt]
\frac{d\theta}{dt}=-\omega_{0}\alpha\operatorname{sen}\omega_{0}t+\omega_{0}\beta \cos \omega_{0}t\\[5pt]
\frac{d\theta}{dt}=\omega_{0}\left(-\alpha \operatorname{sen}\omega_{0}t+\beta \cos \omega_{0}t\right) \tag{V}
\end{gather}
\]
Substituindo as Condições Iniciais nas expressões (IV) e (V)
\[
\begin{gather}
\theta(0)=0=\alpha \cancelto{1}{\cos \omega_{0}.0}+\beta\cancelto{0}{\operatorname{sen}\omega_{0}.0}\\[5pt]
\alpha =\theta_{0} \tag{VI}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{d\theta(0)}{dt}=0=\omega_{0}\left(-\alpha\cancelto{0}{\operatorname{sen}\omega_{0}.0}+\omega_{0}\beta \cancelto{1}{\cos \omega_{0}.0}\right)\\
0=\omega_{0}\beta \\
\beta =0 \tag{VII}
\end{gather}
\]
substituindo as constantes (VI) e (VII) na expressão (IV)
\[
\begin{gather}
\theta =\theta_{0} \cos \omega_{0}t+0. \operatorname{sen}\omega_{0}t \tag{IV}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\theta (t)=\theta_{0}\cos \omega_{0}t}
\end{gather}
\]
c) O período das oscilações é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{T=\frac{2\pi}{\omega}}
\end{gather}
\]
substituindo a frequência angular w0 encontrada acima
\[
\begin{gather}
T=\frac{2\pi}{\sqrt{\frac{\kappa}{I}\;}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{T=2\pi \sqrt{\frac{I}{\kappa}\;}}
\end{gather}
\]
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