Exercício Resolvido de Oscilações Harmônicas
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Um bloco de massa m é ligado a uma mola de constante elástica k. O bloco é lançado a partir da posição de equilíbrio O com velocidade inicial v0. Determine:
a) A equação diferencial do movimento;
b) A solução da equação para o sistema massa-mola e a frequência angular das oscilações.


Dados do problema:
  • Massa do corpo:    m;
  • Constante elástica da mola:    k;
  • Posição inicial (t = 0):    x0;
  • Velocidade inicial (t = 0):    v0.
Esquema do problema:

Adotamos um sistema de referência com sentido positivo para a direita. O bloco está na origem do sistema de referência, x0 = 0 e lançado com velocidade inicial v0. Quando solto a força elástica da mola atuará no sentido de restabelecer o posição de equilíbrio (Figura 1). Com isto escrevemos as Condições Iniciais do problema
\[ \begin{align} & x(0)=0\\[10pt] & v=\frac{dx(0)}{dt}=v_{0} \end{align} \]
Figura 1

Solução

a) Aplicando a 2.ª Lei de Newton (Figura 1)
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {F=m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}} \tag{I} \end{gather} \]
a força que atua no bloco é a força elástica da mola   \( {\vec{F}}_{E} \)   dada, em módulo, por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {F_{E}=-kx} \tag{II} \end{gather} \]
o sinal de negativo na força elástica indica que ela atua contra o sentido do deslocamento do bloco (atua no sentido de restabelecer o equilíbrio). Substituindo a expressão de (II) na expressão (I)
\[ \begin{gather} -kx=m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}\\[5pt] m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+kx=0 \end{gather} \]
esta é uma Equação Diferencial Ordinária Homogênea de 2.aªOrdem. Dividindo toda a equação pela massa m
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{k}{m}x=0} \end{gather} \]

b) Na equação do item anterior vamos fazer a seguinte definição
\[ \begin{gather} \omega_{0}^{2}\equiv \frac{k}{m} \end{gather} \]
onde ω0 é a frequência angular
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}\;}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\omega_{0}^{2}x=0 \tag{III} \end{gather} \]

Solução de    \( \displaystyle \frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\omega_{0}^{2}x=0 \)

A solução deste tipo de equação é encontrada fazendo-se as substituições
\[ \begin{array}{l} x=\operatorname{e}^{\lambda t}\\[5pt] \dfrac{dx}{dt}=\lambda \operatorname{e}^{\lambda t}\\[5pt] \dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}=\lambda^{2}\operatorname{e}^{\lambda t} \end{array} \]
substituindo estes valores na equação diferencial
\[ \begin{gather} \lambda^{2}\operatorname{e}^{\lambda t}+\omega_{0}^{2}\operatorname{e}^{\lambda t}=0\\[5pt] \operatorname{e}^{\lambda t}\left(\lambda^{2}+\omega_{0}^{2}\right)=0\\[5pt] \lambda^{2}+\omega_{0}^{2}=\frac{0}{\operatorname{e}^{\lambda t}}\\[5pt] \lambda^{2}+\omega_{0}^{2}=0 \end{gather} \]
esta é a Equação Característica que tem como solução
\[ \begin{gather} \lambda ^{2}=-\omega_{0}^{2}\\ \lambda =\sqrt{-\omega_{0}^{2}}\\ \lambda _{1,2}=\pm \omega_{0}\text{i} \end{gather} \]
onde \( \mathsf{i}=\sqrt{-1\;} \).
A solução da equação diferencial será
\[ \begin{gather} x=C_{1}\operatorname{e}^{\lambda_{1}t}+C_{2}\operatorname{e}^{\lambda_{2}t}\\[5pt] x=C_{1}\operatorname{e}^{2\omega_{0}\mathsf{i}t}+C_{2}\operatorname{e}^{-2\omega_{0}\mathsf{i}t} \end{gather} \]
onde C1 e C2 são constantes de integração, usando a Fórmula de Euler   \( \operatorname{e}^{\mathsf{i}\theta }=\cos \theta+\mathsf{i}\operatorname{sen}\theta \)
\[ \begin{gather} x=C_{1}\left(\cos \omega_{0}t+\mathsf{i}\operatorname{sen}\omega_{0}t\right)+C_{2}\left(\cos\omega_{0}t-\mathsf{i}\operatorname{sen}\omega_{0}t\right)\\[5pt] x=C_{1}\cos \omega_{0}t+\mathsf{i}C_{1}\operatorname{sen}\omega_{0}t+C_{2}\cos \omega_{0}t-\mathsf{i}C_{2}\operatorname{sen}\omega_{0}t\\[5pt] x=\left(C_{1}+C_{2}\right)\cos \omega_{0}t+\mathsf{i}\left(C_{1}-C_{2}\right)\operatorname{sen}\omega_{0}t \end{gather} \]
definindo duas novas constantes α e β em termos de C1 e C2
\[ \begin{gather} \alpha \equiv C_{1}+C_{2}\\[5pt] \text{e}\\[5pt] \beta \equiv\mathsf{i}(C_{1}-C_{2}) \end{gather} \]
\[ \begin{gather} x=\alpha \cos \omega_{0}t+\beta \operatorname{sen}\omega_{0}t \end{gather} \]
multiplicando e dividindo esta expressão por   \( \sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;} \)
\[ \begin{gather} x=\left(\alpha \cos \omega_{0}t+\beta\operatorname{sen}\omega_{0}t\right)\frac{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;}}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;}}\\[5pt] x=\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;}\left(\frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;}}\cos \omega_{0}t+\frac{\beta }{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;}}\operatorname{sen}\omega_{0}t\right) \end{gather} \]
fazendo as seguintes definições
\[ \begin{align} & A\equiv \sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;}\\[5pt] & \operatorname{sen}\varphi \equiv \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;}}\\[5pt] & \cos \varphi \equiv \frac{\beta }{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;}} \end{align} \]
\[ \begin{gather} x=A\left(\operatorname{sen}\varphi \cos \omega_{0}t+\cos \varphi\operatorname{sen}\omega_{0}t\right) \end{gather} \]
Lembrando da identidade trigonométrica   \( \operatorname{sen}(a+b)=\operatorname{sen}a\cos b+\cos a\operatorname{sen}b .\)
\[ \operatorname{sen}(a+b)=\operatorname{sen}a\cos b+\cos a\operatorname{sen}b \]
\[ \begin{gather} x(t)=A\operatorname{sen}\left(\omega_{0}t+\varphi \right) \tag{IV} \end{gather} \]
onde A e φ são constantes de integração determinadas pelas Condições Iniciais.
Derivando a expressão (IV) em relação ao tempo, a função x(t) é uma função composta, usando a Regra da Cadeia
\[ \begin{gather} \frac{dx[w(t)]}{dt}=\frac{dx}{dw}\frac{dw}{dt} \end{gather} \]
com   \( x=A\operatorname{sen}w \)   e   \( w=\omega_{0}t+\varphi \)
\[ \begin{gather} \frac{dx}{dt}=\frac{dx}{dw}\frac{dw}{dt}\\[5pt] \frac{dx}{dt}=\frac{d\left(A\operatorname{sen}w\right)}{dw}\frac{d\left(\omega_{0}t+\varphi \right)}{dt}\\[5pt] \frac{dx}{dt}=A\left(\cos w\right)\left(\omega_{0}\right)\\[5pt] \frac{dx}{dt}=A\omega_{0}\cos(\omega_{0}t+\varphi) \tag{V} \end{gather} \]
Substituindo as Condições Iniciais nas expressões (IV) e (V)
\[ \begin{gather} x(0)=0=A\operatorname{sen}\left(\omega_{0}.0+\varphi\right)\\[5pt] A\operatorname{sen}\varphi=0\\[5pt] \operatorname{sen}\varphi=\frac{0}{A}\\[5pt] \operatorname{sen}\varphi=0\\[5pt] \varphi=\operatorname{arcsen}(0)\\[5pt] \varphi=0 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \frac{dx(0)}{dt}=v_{0}=A\omega_{0}\cos (\omega_{0}.0+0)\\[5pt] v_{0}=A\omega_{0}\cos (0)\\[5pt] v_{0}=A\omega_{0}.1\\[5pt] A=\frac{v_{0}}{\omega_{0}} \end{gather} \]
substituindo as constantes A e φ na expressão (IV)
\[ \begin{gather} x=\frac{v_{0}}{\omega_{0}}\operatorname{sen}\omega_{0}t \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {x(t)=\frac{v_{0}}{\omega_{0}}\operatorname{sen}\omega_{0}t} \end{gather} \]

Observação: A escolha dos termos senφ e cosφ podem ser feitas aleatóriamente ou por conveniência. Neste caso escolhemos por conveniência para que a constante φ fosse igual à zero. Se a escolha fosse ao contrário teríamos
\[ \begin{gather} x=A\left(\cos \varphi \cos \omega_{0}t+\operatorname{sen}\varphi\operatorname{sen}\omega_{0}t\right) \end{gather} \]
usando a identidade trigonométrica   \( cos(a-b)=\cos a\cos b+\operatorname{sen}a\operatorname{sen}b .\)  
\[ cos(a-b)=\cos a\cos b+\operatorname{sen}a\operatorname{sen}b \]
a função x(t) seria
\[ \begin{gather} x(t)=A\cos \left(\omega_{0}t-\varphi \right) \end{gather} \]
a derivada na expressão (V) seria dada por
\[ \begin{gather} \frac{dx}{dt}=-A\omega_{0}\operatorname{sen}(\omega_{0}t+\varphi) \end{gather} \]
o valor de φ seria   \( \frac{\pi}{2} \),   e A teria o mesmo valor, o resultado final para x(t)
\[ \begin{gather} x(t)=\frac{v_{0}}{\omega_{0}}\cos \left(\omega_{0}t-\frac{\pi}{2}\right) \end{gather} \]
para os dois resultados os valores de x(t) seriam os mesmos para os mesmos valores de t.
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