Exercício Resolvido de Oscilações Harmônicas
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Um bloco de massa m = 2,50 kg é ligado a uma mola de constante elástica k = 12,00 N/m e
a um amortecedor de coeficiente de amortecimento b = 0,60 N.s/m. O bloco é deslocado de sua
posição de equilíbrio O até um ponto x0 a 0,20 m e liberado a partir do repouso.
Determine:
a) A equação do movimento;
b) Classifique o tipo de oscilação;
c) O gráfico da posição x em função do tempo t.
a) A equação do movimento;
b) Classifique o tipo de oscilação;
c) O gráfico da posição x em função do tempo t.
Dados do problema:
- Massa do corpo: m = 2,50 kg;
- Constante elástica da mola: k = 12,00 N/m;
- Coeficiente de amortecimento: b = 0,60 N.s/m;
- Posição inicial (t = 0): x0 = 0,20 m;
- Velocidade inicial (t = 0): v0 = 0.
Adotamos um sistema de referência com sentido positivo para a direita. O bloco é deslocado até a posição
x0 = 0,20 m e liberadoo a partir do repouso, v0 = 0. Quando solto a
força elástica da mola atuará no sentido de restabelecer o posição de equilíbrio (Figura 1). Com isto
escrevemos as Condições Iniciais do problema
\[
\begin{gather}
x(0)=0,20\;\text{m}\\[10pt]
v_{0}=\frac{dx}{dt}=0
\end{gather}
\]
Solução
a) Aplicando a 2.ª Lei de Newton (Figura 1)
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{F=m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}} \tag{I}
\end{gather}
\]
as forças que atuam no bloco são a força elástica da mola
\( {\vec{F}}_{E} \)
e a força de amortecimento
\( {\vec{F}}_{R} \)
dadas, em módulo, por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{F_{E}=-kx} \tag{II-a}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{F_{R}=-bv=-b\frac{dx}{dt}} \tag{II-b}
\end{gather}
\]
o sinal de negativo na força elástica indica que ela atua contra o sentido do deslocamento do bloco
(atua no sentido de restabelecer o equilíbrio), na força de amortecimento indica que ela atua
contra o sentido da velocidade (atua no sentido de frear o movimento). Substituindo as expressões
(II-a) e (II-b) na expressão (I)
\[
\begin{gather}
-kx-b\frac{dx}{dt}=m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}\\[5pt]
m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+b\frac{dx}{dt}+kx=0
\end{gather}
\]
esta é uma Equação Diferencial Ordinária Homogênea de 2.ª Ordem. Dividindo toda a equação pela
massa m
\[
\begin{gather}
\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{b}{m}\frac{dx}{dt}+\frac{k}{m}x=0
\end{gather}
\]
substituindo os valores dados no problema
\[
\begin{gather}
\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{0,60}{2,50}\frac{dx}{dt}+\frac{12,00}{2,50}x=0\\[5pt]
\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+0,24\frac{dx}{dt}+4,80x=0 \tag{III}
\end{gather}
\]
Solução de \( \frac{d^{2}x}{dt^{2}}+0,24\frac{dx}{dt}+4,80x=0 \)
A solução deste tipo de equação é encontrada fazendo-se as substituições
Derivando a expressão (V) em relação ao tempo
A solução deste tipo de equação é encontrada fazendo-se as substituições
\[
\begin{gather}
x=\operatorname{e}^{\lambda t}\\[5pt]
\frac{dx}{dt}=\lambda \operatorname{e}^{\lambda t}\\[5pt]
\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=\lambda^{2}\operatorname{e}^{\lambda t}
\end{gather}
\]
substituindo estes valores na equação diferencial
\[
\begin{gather}
\lambda^{2}\operatorname{e}^{\lambda t}+0,24\lambda\operatorname{e}^{\lambda t}+4,80\operatorname{e}^{\lambda t}=0\\[5pt]
\operatorname{e}^{\lambda t}\left(\lambda ^{2}+0,24\lambda+4,80\right)=0\\[5pt]
\lambda^{2}+0,24\lambda+4,80=\frac{0}{{\operatorname{e}}^{\lambda t}}\\[5pt]
\lambda^{2}+0,24\lambda +4,80=0
\end{gather}
\]
esta é a Equação Característica que tem como solução
\[
\begin{gather}
\Delta=b^{2}-4ac=0,24^{2}-4.1.4,80=0,06-19,20=-19,14
\end{gather}
\]
para Δ<0 as raízes são complexas da forma a+bi, onde
\( \mathsf{i}=\sqrt{-1} \)
\[
\begin{gather}
\lambda=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta\;}}{2a}=\frac{-0,24\pm \sqrt{-19,14\;}}{2.1}=\frac{-0,24\pm4,37\,\mathsf{i}}{2}\\[5pt]
\lambda _{1}=-0,12+2,19\mathsf{i}\qquad \text{e}\qquad \lambda_{2}=-0,12-2,19\mathsf{i}
\end{gather}
\]
a solução da equação diferencial será
\[
\begin{gather}
x=C_{1}\operatorname{e}^{\lambda_{1}t}+C_{2}\operatorname{e}^{\lambda_{2}t}\\[5pt]
x=C_{1}\operatorname{e}^{(-0,12+2,19\mathsf{i})t}+C_{2}\operatorname{e}^{(-0,12-2,19\mathsf{i})t}\\[5pt]
x=C_{1}\operatorname{e}^{(-0,12t+2,19\mathsf{i}t)}+C_{2}\operatorname{e}^{(-0,12t-2,19\mathsf{i}t)}\\[5pt]
x=C_{1}\operatorname{e}^{-0,12t}\operatorname{e}^{2,19\mathsf{i}t}+C_{2}\operatorname{e}^{-0,12t}\operatorname{e}^{-2,19\mathsf{i}t}\\[5pt]
x=\operatorname{e}^{-0,12t}\left(C_{1}\operatorname{e}^{2,19\mathsf{i}t}+C_{2}\operatorname{e}^{-2,19\mathsf{i}t}\right)
\end{gather}
\]
onde C1 e C2 são constantes de integração, usando a
Fórmula de Euler
\( \operatorname{e}^{\mathsf{i}\theta }=\cos \theta +\mathsf{i}\operatorname{sen}\theta \)
\[
\begin{gather}
x=\operatorname{e}^{-0,12t}\left[C_{1}\left(\cos2,19t+\mathsf{i}\operatorname{sen}2,19t\right)+C_{2}\left(\cos2,19t-\mathsf{i}\operatorname{sen}2,19 t\right)\right]\\[5pt]
x=\operatorname{e}^{-0,12t}\left[C_{1}\cos2,19t+\mathsf{i}C_{1}\operatorname{sen}2,19t+C_{2}\cos2,19t-\mathsf{i}C_{2}\operatorname{sen}2,19t\right]\\[5pt]
x=\operatorname{e}^{-0,12t}\left[\left(C_{1}+C_{2}\right)\cos2,19t+\mathsf{i}\left(C_{1}-C_{2}\right)\operatorname{sen}2,19t\right]
\end{gather}
\]
definindo duas novas constantes α e β em termos de C1 e
C2
\[
\begin{gather}
\alpha \equiv C_{1}+C_{2}\\[5pt]
\text{e}\\[5pt]
\beta \equiv \mathsf{i}(C_{1}-C_{2})
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
x=\operatorname{e}^{-0,12t}\left(\alpha \cos 2,19t+\beta\operatorname{sen}2,19t\right) \tag{IV}
\end{gather}
\]
multiplicando e dividindo esta expressão por
\( \sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;} \)
\[
\begin{gather}
x=\operatorname{e}^{-0,12t}\left(\alpha \cos 2,19t+\beta\operatorname{sen}2,19t\right)\frac{\sqrt{\alpha ^{2}+\beta^{2}\;}}{\sqrt{\alpha ^{2}+\beta^{2}}}\\[5pt]
x=\sqrt{\alpha ^{2}+\beta^{2}}\operatorname{e}^{-0,12t}\left(\frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}}\cos 2,19t+\frac{\beta }{\sqrt{\alpha ^{2}+\beta^{2}\;}}\operatorname{sen}2,19t\right)
\end{gather}
\]
fazendo as seguintes definições
\[
\begin{gather}
A\equiv \sqrt{\alpha ^{2}+\beta ^{2}\;}\\[5pt]
\cos \varphi\equiv \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;}}\\[5pt]
\operatorname{sen}\varphi \equiv \frac{\beta }{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
x=A\operatorname{e}^{-0,12t}\left(\cos \varphi \cos2,19t+\operatorname{sen}\varphi \operatorname{sen}2,19t\right)
\end{gather}
\]
Lembrando da seguinte Identidade Trigonométrica
\( \cos (a-b)=\cos a\;\cos b+\operatorname{sen}a\;\operatorname{sen}b \).
\[
\begin{gather}
x=A\operatorname{e}^{-0,12t}\cos (2,19t-\varphi) \tag{V}
\end{gather}
\]
onde A e φ são constantes de integração determinadas pelas Condições Iniciais.Derivando a expressão (V) em relação ao tempo
\[
\begin{gather}
x=\underbrace{A\operatorname{e}^{-0,12t}}_{u}\underbrace{\cos(2,19t-\varphi)}_{v}
\end{gather}
\]
usando a Regra do Produto para derivada de funções
\[
\begin{gather}
(uv)'=u'v+uv'
\end{gather}
\]
onde
\( u=A\operatorname{e}^{-0,12t} \)
e
\( v=\cos (2,19t-\varphi) \),
a função v é uma função composta, usando a Regra da Cadeia para derivadas
\[
\begin{gather}
\frac{dv[w(t)]}{dt}=\frac{dv}{dw}\frac{dw}{dt}
\end{gather}
\]
com
\( v=\cos w \)
e
\( w=2,19t-\varphi \)
\[
\begin{gather}
\frac{dx}{dt}=\frac{du}{dt}v+u\frac{dv}{dt}\\\frac{dx}{dt}=\frac{du}{dt}v+u\frac{dv}{dw}\frac{dw}{dt}\\[5pt]
\frac{dx}{dt}=\frac{d\left(A\operatorname{e}^{-0,12t}\right)}{dt}\left[\cos(2,19t-\varphi)\right]+\left(A\operatorname{e}^{-0,12t}\right)\frac{d\left(\cos w\right)}{dw}\frac{d\left(2,19-\varphi\right)}{dt}\\[5pt]
\frac{dx}{dt}=-0,12 A\operatorname{e}^{-0,12t}\cos(2,19t-\varphi)+\left(A\operatorname{e}^{-0,12t}\right)\left(-\operatorname{sen}w\right)\left(2,19\right)\\[5pt]
\frac{dx}{dt}=-0,12 A\operatorname{e}^{-0,12t}\cos(2,19t-\varphi)-2,19A\operatorname{e}^{-0,12t}\operatorname{sen}(2,19t-\varphi)\\[5pt]
\frac{dx}{dt}=-A\operatorname{e}^{-0,12t}\left[0,12\cos(2,19t-\varphi)+2,19\operatorname{sen}(2,19t-\varphi)\right] \tag{VI}
\end{gather}
\]
Substituindo as Condições Iniciais nas expressões (V) e (VI)
\[
\begin{gather}
x(0)=0,20=A\operatorname{e}^{-0,12.0}\cos(2,19.0-\varphi )\\[5pt]
0,20=A\cos (-\varphi)
\end{gather}
\]
como o cosseno é uma função par temos
\( \cos \varphi=\cos (-\varphi ) \)
\[
\begin{gather}
0,20=A\cos \varphi\\[5pt]
A=\frac{0,20}{\cos \varphi} \tag{VII}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{dx(0)}{dt}=0=-A\operatorname{e}^{-0,12.0}\left[0,12\cos(2,19.0-\varphi)+2,19\operatorname{sen}(2,19.0-\varphi)\right]\\[5pt]
0=-A.1.\left[0,12\cos (0-\varphi)+2,19\operatorname{sen}(0-\varphi)\right]\\[5pt]
0=-A\left[0,12\cos(-\varphi )+2,19\operatorname{sen}(-\varphi)\right]
\end{gather}
\]
como o cosseno é uma função par e seno é uma função ímpar
\( \operatorname{sen}(-\varphi)=-\operatorname{sen}\varphi \)
\[
\begin{gather}
0=-0,12A\cos \varphi +2,19 A\operatorname{sen}\varphi \tag{VIII}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (VII) na expressão (VIII)
\[
\begin{gather}
0=-{\frac{0,20}{\cancel{\cos \varphi}}}.0,12\cancel{\cos \varphi}+2,19.\frac{0,20}{\cos\varphi}.\operatorname{sen}\varphi\\[5pt]
0=-0,20.0,12+2,19.0,20\operatorname{tg}\varphi\\[5pt]
2,19.\cancel{0,20}\operatorname{tg}\varphi=\cancel{0,20}.0,12\\[5pt]
2,19\operatorname{tg}\varphi=0,12\\[5pt]
\operatorname{tg}\varphi =\frac{0,12}{2,19}\\[5pt]
\varphi=\operatorname{arctg}(0,05)\\[5pt]
\varphi \simeq 0,05
\end{gather}
\]
Substituindo o valor de φ na expressão (VII)
\[
\begin{gather}
A=\frac{0,20}{\cos 0,05}\\[5pt]
A=\frac{0,20}{0,99}\\[5pt]
A\simeq 0,20\;\text{m}
\end{gather}
\]
substituindo as constantes A e φ na expressão (V)
\[
\begin{gather}
x=0,20\operatorname{e}^{-0,12t}\cos \left(2,19t-0,05\right)
\end{gather}
\]
Equação de movimento
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{x(t)=0,20\operatorname{e}^{-0,12t}\cos \left(2,19t-0,05\right)}
\end{gather}
\]
b) Como Δ<0 este é um oscilador subcrítico.
c) Construção do gráfico de
\[
\begin{gather}
x(t)=0,20\operatorname{e}^{-0,12t}\cos \left(2,19t-0,05\right)
\end{gather}
\]
A função x(t) é o produto de duas funções,
\( f(t)=0,20\operatorname{e}^{-0,12t} \)
e
\( g(t)=\cos \left(2,19t+0,05\right) \).
Para determinar as raízes fazemos x(t) = 0, como
x(t) = f(t)g(t) temos f(t) = 0 ou
g(t) = 0.
- Para g(t) = 0
\[
\begin{gather}
g(t)=\cos \left(2,19t-0,05\right)=0
\end{gather}
\]
a função cosseno é igual a zero quando seu argumento
\( 2,19t+0,05 \)
é igual a
\( \frac{\pi}{2} \),
\( \frac{3\pi}{2} \),
\( \frac{5\pi}{2} \),
...,
\( \frac{(2n+1)\pi}{2} \),
com n = 0, 1, 2, 3,...,
\[
\begin{gather}
2,19t-0,05=\frac{(2n+1)\pi}{2}\\[5pt]
\frac{219}{100}t-\frac{5}{100}=\frac{(2n+1)\pi}{2}\\[5pt]
\frac{219}{100}t-\frac{5}{100}=\frac{(2n+1)\pi}{2}.\frac{50}{50}\\[5pt]
\frac{219}{100}t-\frac{5}{100}=50\frac{(2n+1)\pi}{100}\\[5pt]
219t-5=50(2n+1)\pi \\[5pt]
t=\frac{50}{219}(2n+1)\pi+\frac{5}{219}\\[5pt]
t=\frac{5}{219}\left[10(2n+1)\pi+1\right]
\end{gather}
\]
para esses valores de t temos as raízes da função cosseno, os quatro primeiros valores serão,para
n = 0, 1, 2 e 3, respectivamente, t = 0,74; 2,17; 3,60 e 5,04 (Gráfico 1).
- Para f(t) = 0
\[
\begin{gather}
f(t)=0,20\operatorname{e}^{-0,12t}=0\\[5pt]
\operatorname{e}^{-0,12t}=\frac{0}{0,20}\\[5pt]
\operatorname{e}^{-0,12t}=0
\end{gather}
\]
como não exite t que satisfaça essa igualdade a função f(t) não cruza o eixo das abscissas.Para qualquer valor de t real a função será sempre positiva, f(t) > 0.
Derivando a expressão f(t)
\[
\begin{gather}
\frac{df}{dt}=0,20.(-0,12)\operatorname{e}^{-0,12t}\\[5pt]
\frac{df}{dt}=-0,02\operatorname{e}^{-0,12t}
\end{gather}
\]
para qualquer valor de t real a derivada será sempre negativa
\( \left(\frac{df(t)}{dt}<0\right) \)
e a função decresce sempre. Fazendo
\( \frac{df(t)}{dt}=0 \)
encontramos pontos de máximos e mínimos da função.
\[
\begin{gather}
\frac{df}{dt}=-0,02\operatorname{e}^{-0,12t}=0\\[5pt]
\operatorname{e}^{-0,12t}=\frac{0}{-0,02}\\[5pt]
\operatorname{e}^{-0,12t}=0
\end{gather}
\]
como não exite t que satisfaça essa igualdade não existem pontos de máximo ou mínimo da função.Derivando uma segunda vez a função f(t)
\[
\begin{gather}
\frac{d^{2}f}{dt^{2}}=-0,02(-0,12)\operatorname{e}^{-0,12t}\\[5pt]
\frac{d^{2}f}{dt^{2}}=0,002\operatorname{e}^{-0,12t}
\end{gather}
\]
para qualquer valor de t real a derivada segunda será sempre positiva
\( \left(\frac{d^{2}f(t)}{dt^{2}}>0\right) \)
e a função possui “boca” voltada para cima. Fazendo
\( \frac{d^{2}f(t)}{dt^{2}}=0 \)
encontramos pontos de inflexão na função.
\[
\begin{gather}
\frac{d^{2}f}{dt^{2}}=0,002\operatorname{e}^{-0,12t}=0\\[5pt]
\operatorname{e}^{-0,12t}=\frac{0}{0,002}\\[5pt]
\operatorname{e}^{-0,12t}=0
\end{gather}
\]
como não exite t que satisfaça essa igualdade não existem pontos de inflexão na função.Para t = 0 a expressão de f(0)
\[
\begin{gather}
f(0)=0,20\operatorname{e}^{-0,12.0}\\[5pt]
f(0)=0,20\operatorname{e}^{-0}\\[5pt]
f(0)=0,20.1\\[5pt]
f(0)=0,20
\end{gather}
\]
Como a variável t representa o tempo não tem sentido o cálculo de valores negativos,
t<0, para t tendendo a infinito
\[
\begin{gather}
\lim_{t\rightarrow \infty }f(t)=\lim_{t\rightarrow \infty}0,20\operatorname{e}^{-0,12t}=\lim_{t\rightarrow \infty}{\frac{0,20}{\operatorname{e}^{0.12t}}}=0
\end{gather}
\]
Da análise feita acima traçamos o gráfico de f em função de t (Gráfico 2).
Como x(t) = f(t)g(t) a combinação dos gráficos produz uma curva que oscila como a função cosseno amortecida pela exponencial (Gráfico 3).
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