Exercício Resolvido de Momento de Inércia

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Exercício Resolvido de Momento de Inércia

Um sistema é formado por dois corpos de massas M e m (M>m) conectados uma barra de massa desprezível, a dustância entre os centros dos corpos é igual a R. Calcule o momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo centro de massa do sistema.

Dados do problema:

Massa do corpo 1: M;
Massa do corpo 2: m;
Distância entre os corpos: R.

Solução

Em primeiro lugar devemos determinar a posição do centro de massa do sistema para sabermos a distância de cada corpo até o centro de massa. Vamos adotar um sistema de referência com origem no corpo de massa M e orientado para a direita (Figura 1).
O corpo de massa M está na origem do referencial, r₁ = 0, o centro de massa está a uma distância r_CM da origem e o corpo de massa m a uma distância r₂ = R.
A posição do Centro de Massa é dada por

Figura 1

r_{C M} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} m_{i} r_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} m_{i}}

para n = 2

\begin{matrix} r_{C M} = \frac{m_{1} r_{1} + m_{2} r_{2}}{m_{1} + m_{2}} \\ r_{C M} = \frac{M .0 + m R}{M + m} \\ (I) & r_{C M} = \frac{m R}{M + m} \end{matrix}

O corpo 1 está a uma distância r₁ = r_CM do eixo que passa pelo centro de massa, e o corpo 2 está a uma distância r₂ = R−r₁ do eixo (Figura 2).

Observação: Não confundir o r₁ no cálculo da posição do centro de massa, que representava a distância do corpo 1 à origem do sistema de referência, r₁ = 0, na primeira parte do problema, com r₁ usado aqui para representar a distância do corpo 1 ao eixo que passa pelo centro de massa, r₁ = r_CM.

Figura 2

O momento de inércia em relação ao eixo é dado por

I = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} r_{i}^{2}

para n =2, e substituindo r₁ pela expressão (I)

\begin{matrix} I = m_{1} r_{1}^{2} + m_{1} r_{1}^{2} \\ I = M {(\frac{m R}{M + m})}^{2} + m (R - r_{1})^{2} \\ I = \frac{M m^{2} R^{2}}{{(M + m)}^{2}} + m {(R - \frac{m R}{M + m})}^{2} \\ I = \frac{M m^{2} R^{2}}{{(M + m)}^{2}} + m {[R (1 - \frac{m}{M + m})]}^{2} \\ I = \frac{M m^{2} R^{2}}{{(M + m)}^{2}} + m R^{2} {(1 - \frac{m}{M + m})}^{2} \\ I = \frac{M m^{2} R^{2}}{{(M + m)}^{2}} + m R^{2} {(\frac{M + m - m}{M + m})}^{2} \\ I = \frac{M m^{2} R^{2}}{{(M + m)}^{2}} + m R^{2} (\frac{M^{2}}{{(M + m)}^{2}}) \\ I = \frac{M m^{2} R^{2}}{{(M + m)}^{2}} + m R^{2} (\frac{M^{2}}{{(M + m)}^{2}}) \\ I = \frac{M m^{2} R^{2}}{{(M + m)}^{2}} + \frac{M^{2} m R^{2}}{{(M + m)}^{2}} \\ I = \frac{M m}{{(M + m)}^{2}} R^{2} + (M + m) \\ I = \frac{M m}{M + m} R^{2} \end{matrix}

fazendo a seguinte definição

μ = \frac{M m}{M + m}

I = μ R^{2}

Observação: μ é chamado de massa reduzida, o problema de dois corpos passa a ser o problema de um único corpo girando em torno de um ponto fixo. A massa reduzida e é usada em vários campos da física.

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