Exercício Resolvido de Momento de Inércia
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Um aro de raio R possui densidade constante λ, determinar:
a) O momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro de massa do aro e é perpendicular ao plano do aro;
b) O momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro do aro e está no plano que contém o aro;
c) O momento de inércia em relação a um eixo que está a uma distância de \( \frac{3}{2}R \) do eixo do item (a).


Dados do problema:
  • Raio do aro:    R;
  • Densidade do aro:    λ.
Solução

a) O momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro de massa é dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {I=\int r^{2} dm} \tag{I} \end{gather} \]
Adotando-se um sistema de coordenadas polares, sendo er e eθ os vetores unitários nas direções r e θ, e r o vetor que localiza um elemento de massa dm (Figura 1)
\[ {\mathbf{r}}=R\,{\mathbf{e}}_{r} \]
A distância do elemento de massa ao eixo com relação ao qual se quer calcular o momento é
\[ \begin{gather} r^{2}=\mathbf{r\cdot r}\\ r^{2}=R\,{\mathbf{e}}_{r}\cdot R\,{\mathbf{e}}_{r}\\ r^{2}=R^{2}\;{\underbrace{{\mathbf{e}}_{r}\cdot{\mathbf{e}}_{r}}_{1}}\\ r^{2}=R^{2} \tag{II} \end{gather} \]
Figura 1
A densidade linear de massa é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\lambda =\frac{d m}{d s}} \]
O elemento linear de massa é dado por
\[ \begin{gather} d m=\lambda \;d s \tag{III} \end{gather} \]
onde ds é um elemento de arco do aro dado por (Figura 2)
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {d s=R \;d\theta} \tag{IV} \end{gather} \]
substituindo a expressão (IV) na expressão (III)
\[ \begin{gather} d m=\lambda R \;d\theta \tag{V} \end{gather} \]
substituindo as expressões (II) e (V) na expressão (I)
Figura 2
\[ I=\int R^{2}\lambda R \;d\theta \]
como R e λ são constantes eles “saem” da integral e integrando dθ entre 0 e 2π
\[ \begin{gather} I=\lambda R^{3}\int _{0}^{2\pi }d\theta \\ I=\lambda R^{3}\left.\theta \;\right|_{\;0}^{\;2\pi}\\ I=\lambda R^{3}(2\pi-0)\\ I=2\pi \lambda R^{3} \tag{VI} \end{gather} \]
A densidade linear de massa λ será a massa total M dividida pelo comprimento da circunferência \( C=2\pi R \)
\[ \begin{gather} \lambda =\frac{M}{2\pi R} \tag{VII} \end{gather} \]
substituindo a expressão (VII) na expressão (VI)
\[ I=\cancel{2\pi} \frac{M}{\cancel{2\pi} \cancel{R}}R^{\cancelto{3}{2}} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {I=MR^{2}} \]

b) Como o objeto está totalmente contido no plano xy para calcular o momento de inércia, em relação a um eixo que passa pelo centro do aro e está no plano que contém o aro, usamos o Teorema dos Eixos Perpendiculares (Figura 3).
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {I_{z}=I_{x}+I_{y}} \tag{VIII} \end{gather} \]
Figura 3

Como o objeto é simétrico, os eixos x e y são equivalentes e temos em particular que
\[ \begin{gather} I_{x}=I_{y} \tag{IX} \end{gather} \]
Sendo Iz o momento de inércia calculado no item anterior, temos usando a condição (IX) e o resultado do item anterior na expressão (VIII)
\[ M R^{2}=2I_{y} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {I_{y}=\frac{1}{2}M R^{2}} \]

c) Para calcular o momento de inércia em relação a um eixo paralelo ao eixo que passa pelo centro de massa usamos o Teorema dos Eixos Paralelos.
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {I'=I_{cm}+M d^{2}} \]
onde Icm é o momento de inércia calculado no item (a) e d é a distância entre este eixo e o novo eixo com relação ao qual se quer calcular o momento de inércia, no caso \( d=\frac{3}{2}R \)
Figura 4
\[ \begin{gather} I'=M R^{2}+M\left(\frac{3}{2}R\right)^{2}\\ I'=M R^{2}+M\frac{9}{4}R^{2}\\ I'=\frac{4 M R^{2}+9 M R^{2}}{4} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {I'=\frac{13}{4} M R^{2}} \]
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