Sobre um eixo horizontal AB estão rigidamente montados uma polia C de diâmetro d, e uma haste D de massa m₂. Sobre a polia está enrolado um cabo em cuja extremidade prende-se um corpo E de massa m₁. Na extremidade da haste D adapta-se um cilindro F de massa m₃ e altura h. Na posição de equilíbrio a haste forma um ângulo θ com a vertical. São desprezados a massa da polia e do cabo, considera-se o cabo inextensível, o eixo e a haste não sofrem torções. Determinar:
a) O comprimento da haste;
b) Calcule o comprimento da haste para os seguintes valores, m₁ = 200 kg, d = 60 cm, m₂ = 12 kg, m₃ = 100 kg, h = 20 cm e θ = 30°.

Dados do problema:

• Diâmetro da polia C: d;
• Massa do corpo E: m₁;
• Massa da haste D: m₂;
• Massa do cilindro F: m₃;
• Altura do cilindro F: h;
• Ângulo formado entre a vertical e o sistema haste+cilindro: θ.

Esquema do problema:

Adotamos que a aceleração da gravidade no local é igual a g.
Suponhamos que inicialmente a corda está enrolada na polia e o sistema haste+cilindro está na vertical. Sob a ação da força peso P₁ o corpo de massa m₁ começa a descer, a corda começa a desenrolar e faz girar a polia, que está rigidamente ligada a barra AB onde passa a atuar o torque N₁.

Figura 1

Com a rotação do eixo AB o sistema haste+cilindro começa a girar, considerando as forças peso da haste e do cilindro, P₂ e P₃ respectivamente, aplicadas ao centro de massa de cada corpo, para que o sistema todo permaneça em equilíbrio estas forças devem gerar um torque, N₂+N₃ de mesmo módulo e direção, e com sentido contrário ao torque N₁, de tal forma que a somatória dos torques seja nula. Adotamos x como sendo o comprimento da haste a ser determinado.

Solução:

a) O torque de uma força é dado por

No sistema da polia temos o vetor posição (r₁) dado pelo raio da polia e a força (F) representada pela força peso devido à massa m₁ (P₁), Figura 2-A. Aplicando a expressão (I)

a força peso é dada por

substituindo a expressão (III), para a massa m₁, na expressão (II)

Aplicando a regra da mão direita para o produto vetorial (levando o vetor r₁ em direção ao vetor g – Figura 2-B) obtemos o vetor N₁ perpendicular a estes dois (Figura 2-C).

Figura 2

Os vetores r₁ e g são perpendiculares entre si, portanto, em módulo

o raio da polia será \( r_1=\frac{d}{2} \) e \( \operatorname{sen}\frac{\pi}{2}=1 \)

Na haste temos o vetor posição (r₂) e a força (F) representada pela força peso devido à massa m₂ da haste (P₂), Figura 3-A. Aplicando a expressão (I)

substituindo a expressão (III), para a massa m₂, na expressão (V)

Figura 3

Aplicando a regra da mão direita para o produto vetorial (levando o vetor r₂ em direção ao vetor g – Figura 3-B) obtemos o vetor N₂ perpendicular a estes dois (Figura 3-C).
Os vetores r₂ e g formam um ângulo θ entre si, portanto, em módulo

o vetor posição r₂ localiza o centro de massa da haste, supondo que a haste seja homogênea o centro de massa está na metade do comprimento, assim o módulo do vetor posição será \( r_2=\frac{x}{2} \)

No cilindro temos o vetor posição (r₃) e a força (F) representada pela força peso devido à massa m₃ do cilindro (P₃), Figura 4-A. Aplicando a expressão (I)

substituindo a expressão (III), para a massa m₃, na expressão (VII)

Figura 4

Aplicando a regra da mão direita para o produto vetorial (levando o vetor r₃ em direção ao vetor g – Figura 4-B) obtemos o vetor N₃ perpendicular a estes dois (Figura 4-C).
Os vetores r₂ e g formam um ângulo θ entre si, portanto, em módulo

o vetor posição r₃ localiza o centro de massa do cilindro, supondo que a haste seja homogênea o centro de massa está na metade da altura do cilindro somado ao comprimento x da haste, assim o módulo do vetor posição será \( r_3=\frac{h}{2}+x \)

Para que o sistema permaneça em equilíbrio temos a condição

adotando o sentido do torque N₁ como positivo com n = 3

substituindo as expressões (IV), (VI) e (VIII) na expressão (IX)

multiplicando toda a expressão por 2

b) Convertendo o diâmetro da polia e a altura do cilindro, dados em centímetros (cm) para metros (m) usado no Sistema Internacional (S.I.)

e lembrando que \( \theta=30°=\frac{\pi}{6} \), então, \( \operatorname{sen}\frac{\pi}{6}=0,5 \), usando a expressão obtida no item (a) e os valores dados